Η τρίτη πλευρά

#1

Σε τρίγωνο ABC

δίδονται $a = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 8$ . Αν

είναι τα ορθόκεντρο

και

το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ , επιπλέον δε $AG \bot HG$ , να υπολογιστεί

η τρίτη πλευρά του τριγώνου .

Κάθε λύση δεκτή.

polysindos · #2

Έχουμε

και από το ΠΘ στα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε

$4(R^{2}-AG^{2})=AH^{2}-AG^{2}$

$4R^{2}=3AG^{2}+AH^{2}$

$4R^{2}-4R^{2}cos^{2}A=3AG^{2}$

$a^{2}=\dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{3}$

$b^{2}=2a^{2}-c^{2}$

$b=\sqrt{136}$

#3

polysindos έγραψε:Έχουμε και από το ΠΘ στα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε

$4(R^{2}-AG^{2})=AH^{2}-AG^{2}$

$4R^{2}=3AG^{2}+AH^{2}$

$4R^{2}-4R^{2}cos^{2}A=3AG^{2}$

$a^{2}=\dfrac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{3}$

$b^{2}=2a^{2}-c^{2}$

$b=\sqrt{136}$

: Η τρίτη πλευρά_Fragos.png (31.25 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Πολύ ωραία λύση κι ευχαριστώ .

Κι ένα έτι επεξηγηματικό σχήμα.

#4

Doloros έγραψε:Σε τρίγωνο δίδονται $a = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 8$ . Αν είναι τα ορθόκεντρο

και το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ , επιπλέον δε $AG \bot HG$ , να υπολογιστεί

η τρίτη πλευρά του τριγώνου .

Κάθε λύση δεκτή.

: Η τρίτη πλευρά-Φραγκάκης.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 659 φορές

Είναι $\boxed{AH = 2R\cos A},$ από νόμο συνημιτόνων βρίσκω $\boxed{\cos A = \frac{{{b^2} - 36}}{{16b}}}$ και $\displaystyle{\frac{{a \cdot AD}}{2} = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD = \frac{{4b}}{R}}$

Από τις τρεις παραπάνω σχέσεις και από το εγγράψιμο HGMD

έχουμε:

$\displaystyle{AH \cdot AD = \frac{2}{3}{m_a}^2 \Leftrightarrow 2R \cdot \frac{{{b^2} - 36}}{{16b}} \cdot \frac{{4b}}{R} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{2{b^2} + 128 - 100}}{4} \Leftrightarrow }$ $\boxed{b=\sqrt{136}}$

Παρατήρηση: Το τρίγωνο έχει και άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

#5

george visvikis έγραψε:
Παρατήρηση: Το τρίγωνο έχει και άλλες ενδιαφέρουσες ιδιότητες.

βεβαίως-βεβαίως π.χ. το τετράπλευρο BHGC

είναι εγγράψιμο και άλλη μια που θα την ανεβάσω, στον κατάλληλο χρόνο, σαν άλλη άσκηση .

#6

Άλλη μία

: Η τρίτη πλευρά-Φραγκάκης.ΙΙ.png (21.41 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Επειδή $\displaystyle{OG \bot AM}$ , αν η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

, το

θα είναι μέσο του AN.

$\displaystyle{AM \cdot MN = BM \cdot MC \Leftrightarrow \frac{1}{3}{m_a}^2 = 25 \Leftrightarrow ...}$ $\boxed{b=\sqrt{136}}$

Η τρίτη πλευρά

Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Re: Η τρίτη πλευρά

Μέλη σε σύνδεση