Τμηματική

KARKAR · #1

: Τμηματική.png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές

Στον κύκλο (O)

του σχήματος , είναι : SA=4,SB=2

. Υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε:Τμηματική.pngΣτον κύκλο του σχήματος , είναι : . Υπολογίστε το τμήμα .

Καλημέρα!

: Τμηματική..png (13.31 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Από Π. Θ στο ASB

βρίσκω $AB=\sqrt{20}$ κι επειδή το AOB

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, θα είναι $\boxed{R=\sqrt{10}}$

Αλλά το AOSB

είναι εγγράψιμο, οπότε: $\boxed{x(x + 2) = y(y + \sqrt {10} )}$ (1)

$\displaystyle{4(x + 2) = 2(APB) = (y + \sqrt {10} )\sqrt {10} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y = \frac{{4x - 2}}{{\sqrt {10} }}}$ (2)

Από

προκύπτει η εξίσωση $\displaystyle{3{x^2} + 4x - 8 = 0}$ , απ' όπου παίρνω την δεκτή ρίζα $\boxed{x=PS=\frac{4}{3}}$

hlkampel · #3

KARKAR έγραψε:Τμηματική.pngΣτον κύκλο του σχήματος , είναι : . Υπολογίστε το τμήμα .

Με τριγωνομετρία

: Τμηματική.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Από το ορθ. τρίγωνο ASB

είναι $\varepsilon \varphi \varphi = \dfrac{{SB}}{{SA}} \Rightarrow \varepsilon \varphi \varphi = \dfrac{1}{2}\,\,\left( 1 \right)$

Το τρίγωνο ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές έτσι $\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = 45^\circ$

$\varepsilon \varphi \theta = \dfrac{{PS}}{{AS}} \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \dfrac{{PS}}{4}\,\,\left( 2 \right)$

$\theta = 45^\circ - \varphi \Rightarrow \varepsilon \varphi \theta = \varepsilon \varphi \left( {45^\circ - \varphi } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$

$\dfrac{{PS}}{4} = \dfrac{{\varepsilon \varphi 45^\circ - \varepsilon \varphi \varphi }}{{1 + \varepsilon \varphi 45^\circ \varepsilon \varphi \varphi }}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{PS}}{4} = \dfrac{{1 - \dfrac{1}{2}}}{{1 + \dfrac{1}{2}}} \Rightarrow PS = \dfrac{4}{3}$

KARKAR · #4

Και καλά ο Καμπελής ( γειά σου Ηλία ! ) , δέν έχει σχολείο σήμερα - παλιόκαιρος στη Θεσσαλία

Αλλά αυτός ο Βισβίκης ( γειά σου Γιώργο !) , δεν έχει πάρει ποτέ απουσία απ' το mathematica ?

#5

KARKAR έγραψε:Τμηματική.pngΣτον κύκλο του σχήματος , είναι : . Υπολογίστε το τμήμα .

Το σημείο τομής

των $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,BO\,$ είναι ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle APB$ με

άμεσες συνέπειες :

1. το τρίγωνο $\vartriangle OPH$ να είναι ισοσκελές ορθογώνιο με OP = OH = y

και

2. $\vartriangle SAB \approx \vartriangle SPH$ οπότε, $\boxed{PS = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SH = x}$ .

: Τμηματική_KARKAR.png (25.31 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Από το Π. Θ. στα τρίγωνα $\vartriangle OPH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SPH$ προκύπτει : $5{x^2} = 2{y^2}\,\,(1)$ . Πάλι από

το Π. Θ. στα τρίγωνα $\vartriangle SAB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OAB$ προκύπτει :

$2O{A^2} = A{S^2} + S{B^2} \Rightarrow \boxed{{R^2} = 10}\,\,\,(2)$ . Τέλος από το Π. Θ. στο $\vartriangle OPB$ προκύπτει

${(2x + 2)^2} = {y^2} + {R^2}$ που λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)\,\,$ δίδει , $3{x^2} + 16x - 12 = 0$ απ’ όπου

$\boxed{x = \frac{2}{3} \Rightarrow PS = \frac{4}{3}}$ .

Φιλικά Νίκος

Τμηματική

Τμηματική

Re: Τμηματική

Re: Τμηματική

Re: Τμηματική

Re: Τμηματική

Μέλη σε σύνδεση