Σελίδα 1 από 1

Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 11:26 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Φρέσκια κατασκευή.PNG (5.91 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC και G το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο F στην προέκταση της BA ώστε να είναι GM=AG , όπου M το μέσον της FC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 12:29 pm
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC και G το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο F στην προέκταση της BA ώστε να είναι GM=AG , όπου M το μέσον της FC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.


Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!

Φρέσκια κατασκευή.png
Φρέσκια κατασκευή.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

Ανάλυση: Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το G είναι και περίκεντρο, οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος διέρχεται από το M. Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και FM=MC=x, AF=y. Είναι:

\displaystyle{\frac{{AM}}{a} = \frac{y}{{2x}} \Leftrightarrow } \boxed{AM = \frac{{ay}}{{2x}}} και \displaystyle{2{x^2} = y(y + a) \Leftrightarrow } \boxed{{x^2} = \frac{{{y^2} + ay}}{2}} Από αυτές τις δύο σχέσεις και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο AMF με απαλοιφή του x, καταλήγουμε στην εξίσωση:

\displaystyle{{y^2} + ay - {a^2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{a(\sqrt 5  - 1)}}{2}} ή \boxed{y = \frac{a}{\Phi }}

(Θα μπορούσαμε με απαλοιφή του y να πούμε ότι \displaystyle{x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}, αλλά ξέρω ότι έχεις ιδιαίτερη αδυναμία στο γράμμα \Phi :lol: )

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 7:19 pm
από Doloros
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC και G το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο F στην προέκταση της BA ώστε να είναι GM=AG , όπου M το μέσον της FC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.


Καλησπέρα στους αγαπητούς Γιώργο και Γιώργο. Καλησπέρα σε όλους .

δείτε κι αυτό : Από το μέσο της AC φέρνω παράλληλη στην AB που τέμνει τον κύκλο του τριγώνου ABC στο M και μετά η CM

τη προέκταση της BA στο ζητούμενο σημείο F .

κατασκευή Μίτσιου.png
κατασκευή Μίτσιου.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές


Σε ότι αφορά τους υπολογισμούς ( που η άσκηση δεν τους απαιτεί) , θέτουμε τη

πλευρά του ισοπλεύρου \vartriangle ABC με 2a και \boxed{MN = x} οπότε \boxed{AF = 2x}

Η NMτέμνει ακόμα τον κύκλο (A,B,C) στο E και την BC στο D κι έχουμε:

MN \cdot NE = AN \cdot NC \Rightarrow \boxed{x(a + x) = {a^2}} κλασσική περίπτωση χρυσής τομής του

ευθυγράμμου τμήματος \boxed{AN = a}.

Φρέσκια  κατασκευή  Μίτσιου.png
Φρέσκια κατασκευή Μίτσιου.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές


Φιλικά, Νίκος

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 8:30 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους ! Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ABC και G το βαρύκεντρό του.

Να βρεθεί σημείο F στην προέκταση της BA ώστε να είναι GM=AG , όπου M το μέσον της FC.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Καλησπέρα..

Έστω \displaystyle{\alpha } η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου

Η παράλληλη από το \displaystyle{M} προς την \displaystyle{BF} περνά από το μέσον \displaystyle{D} της \displaystyle{BC} και \displaystyle{\angle BAD = \angle MDA = {30^0}}

Είναι, \displaystyle{AD = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = GM = \frac{2}{3}\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}} και \displaystyle{GD = \frac{1}{3}\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}} κι ακόμη \displaystyle{DM = \frac{{\alpha  + x}}{2}}

Με ν. συνημιτόνων στο \displaystyle{\vartriangle MGD} καταλήγουμε στην εξίσωση \displaystyle{{x^2} + ax - {a^2} = 0} με δεκτή λύση \displaystyle{\boxed{x = \frac{a}{\varphi }}}

fk.png
fk.png (9.58 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 13, 2017 3:08 am
από Γιώργος Μήτσιος
Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
Φρέσκια  επέκταση.PNG
Φρέσκια επέκταση.PNG (8.69 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές


Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το E στην προέκταση της BC ώστε τα GE και GF να είναι ίσα .Τότε

1) Να δειχθεί ότι το EM είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου ABC

2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου GEMπρος αυτό του τριγώνου BAG
είναι .. :) .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !


Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι

3) Η γωνία MEC είναι μικρότερη από 45 μοίρες .

Φιλικά Γιώργος.

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 13, 2017 9:46 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
Φρέσκια επέκταση.PNG

Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το E στην προέκταση της BC ώστε τα GE και GF να είναι ίσα .Τότε

1) Να δειχθεί ότι το EM είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου ABC

2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου GEMπρος αυτό του τριγώνου BAG
είναι .. :) .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !


Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι

3) Η γωνία MEC είναι μικρότερη από 45 μοίρες .

Φιλικά Γιώργος.


Γεια σου Γιώργο.Δίνω μια μια απάντηση στα πρόσθετα ερωτήματα.Ίσως υπάρχει ευκολότερη

Είναι \displaystyle{GK = GD} και \displaystyle{FG = GE}.Άρα \displaystyle{\vartriangle FKG = \vartriangle GDE \Rightarrow AF = CE \Rightarrow BF = BE}

κι επειδή \displaystyle{\angle EBF = {60^0} \Rightarrow \vartriangle FBE} ισόπλευρο άρα \displaystyle{BG \bot FE} με \displaystyle{Z} μέσον της \displaystyle{FE}

Έτσι , \displaystyle{MZ//BE \Rightarrow \angle MZB = \angle ZBE = {30^0} = \angle MDA}(Είναι \displaystyle{MD//FB}).Άρα, \displaystyle{DGMZ} εγγράψιμο

Ακόμη, \displaystyle{MD = \frac{{BF}}{2} = \frac{{FE}}{2} = ZE \Rightarrow MZED} ισοσκελές τραπέζιο άρα εγγράψιμο στον ίδιο κύκλο με το \displaystyle{DGMZ}

Επομένως \displaystyle{\angle GME = {90^0}} και \displaystyle{\angle MEG = {30^0}}

Είναι \displaystyle{D{E^2} = {\left( {\frac{\alpha }{2} + \frac{\alpha }{\varphi }} \right)^2} = \frac{{5{\alpha ^2}}}{4}} και \displaystyle{ \Rightarrow G{M^2} + M{E^2} = G{D^2} + D{E^2} \Rightarrow {\left( {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + M{E^2} = {\left( {\frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + \frac{{5{\alpha ^2}}}{4} \Rightarrow \boxed{ME = \alpha }}

\displaystyle{\frac{{\left( {MEG} \right)}}{{\left( {ABG} \right)}} = \frac{{ME \cdot EG}}{{AB \cdot AG}} = \frac{{EG}}{{AG}} = \frac{{2GM}}{{AG}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {MEG} \right)}}{{\left( {ABG} \right)}} = 2}}

\displaystyle{MZ = \frac{{CE}}{2} = \frac{\alpha }{{2\varphi }} = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{4} > GD = \frac{{\alpha \sqrt 3 }}{6}} .Άρα για τις εγγεγραμμένες γωνίες \displaystyle{\omega ,\varphi } είναι \displaystyle{\omega  > \varphi }

Επειδή \displaystyle{\angle MEG = {30^0}},αν ήταν \displaystyle{\angle MEC \geqslant {45^0}} θα είναι \displaystyle{{30^0} + \varphi  \geqslant {45^0} \Rightarrow \varphi  \geqslant {15^0} \Rightarrow \omega  > {15^0}} κι έτσι \displaystyle{{60^0} = \angle ZED = {30^0} + \omega  + \varphi  > {60^0}} που είναι άτοπο .

Επομένως \displaystyle{\boxed{\angle MEC < {{45}^0}}}

fk.png
fk.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Re: Φρέσκια κατασκευή

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 16, 2017 1:12 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα. Μιχάλη σ' ευχαριστώ και πάλι για την πλήρη κάλυψη των πρόσθετων ερωτημάτων !
Δίνω απαντήσεις με παραλλαγή και χρήση στοιχείων από τη λύση του Μιχάλη.
Φρέσκια-πρόσθετα.PNG
Φρέσκια-πρόσθετα.PNG (11.18 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Το τρίγωνο FEB είναι ισόπλευρο άρα EC=\dfrac{\alpha }{\Phi} ...EB=\alpha  \Phi

Βρίσκουμε (όπως ο Μιχάλης) ότι τα D,G,M,Z,E είναι ομοκυκλικά και το τρίγωνο MEG του τύπου \left ( 30^{0},60^{0} ,90^{0}\right ).

Τότε το EM είναι εφαπτόμενο στον περίκυκλο του ABC άρα ME^{2}=EC\cdot EB=\dfrac{\alpha }{\Phi} \cdot \alpha  \Phi =\alpha ^{2}\Rightarrow {\color{Blue} ME=\alpha }

Είναι \widehat{BAG}=30^{0}..\widehat{GME}=90^{0} οπότε (βλ. σχήμα) \dfrac{\left (MEG  \right )}{\left ( BAG \right )}=\dfrac{\eta \mu 90^{0}}{\eta \mu 30^{0}}=2

Για το γ ερώτημα ας προχωρήσουμε.. πισωπατώντας : Θέλουμε \widehat{MEC}< 45^{0} ενώ \widehat{FEB}= 60^{0}..άρα αρκεί \widehat{FEM}>  60^{0}.

Είναι \widehat{MEG}=  30^{0} συνεπώς αρκεί \widehat{FEG}>   45^{0}..δηλ. στο ισοσκελές FEG αρκεί \widehat{FGE}<    90^{0}.

Πράγματι είναι ( από νόμο συνημιτόνων στο GAF): FG^{2}=..=\dfrac{4}{3}\alpha ^{2}=GE^{2}

άρα τελικά αρκεί να δείξουμε FE^{2}< FG^{2}+GE^{2}\Leftrightarrow \Phi ^{2}< \dfrac{8}{3} που ισχύει.

Φιλικά Γιώργος