Σελίδα 1 από 1
Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 11:26 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους !
Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
- Φρέσκια κατασκευή.PNG (5.91 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές
Δίνεται το
ισόπλευρο τρίγωνο
και
το
βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 12:29 pm
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους !
Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το
ισόπλευρο τρίγωνο
και
το
βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο, Καλημέρα σε όλους!
- Φρέσκια κατασκευή.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές
Ανάλυση: Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, το
είναι και περίκεντρο, οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος διέρχεται από το
Έστω
η πλευρά του ισοπλεύρου και
Είναι:
και
Από αυτές τις δύο σχέσεις και από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο
με απαλοιφή του
, καταλήγουμε στην εξίσωση:
ή
(Θα μπορούσαμε με απαλοιφή του
να πούμε ότι
, αλλά ξέρω ότι έχεις ιδιαίτερη αδυναμία στο γράμμα
)
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 7:19 pm
από Doloros
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους !
Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το
ισόπλευρο τρίγωνο
και
το
βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα στους αγαπητούς Γιώργο και Γιώργο. Καλησπέρα σε όλους .
δείτε κι αυτό : Από το μέσο της
φέρνω παράλληλη στην
που τέμνει τον κύκλο του τριγώνου
στο
και μετά η
τη προέκταση της
στο ζητούμενο σημείο
.
- κατασκευή Μίτσιου.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές
Σε ότι αφορά τους υπολογισμούς ( που η άσκηση δεν τους απαιτεί) , θέτουμε τη
πλευρά του ισοπλεύρου
με
και
οπότε
Η
τέμνει ακόμα τον κύκλο
στο
και την
στο
κι έχουμε:
κλασσική περίπτωση χρυσής τομής του
ευθυγράμμου τμήματος
.
- Φρέσκια κατασκευή Μίτσιου.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές
Φιλικά, Νίκος
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 8:30 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους !
Φρέσκια προσωπική σύνθεση ..
Φρέσκια κατασκευή.PNG
Δίνεται το
ισόπλευρο τρίγωνο
και
το
βαρύκεντρό του.
Να βρεθεί σημείο στην προέκταση της ώστε να είναι , όπου το μέσον της .
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα..
Έστω
η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου
Η παράλληλη από το
προς την
περνά από το μέσον
της
και
Είναι,
και
κι ακόμη
Με ν. συνημιτόνων στο
καταλήγουμε στην εξίσωση
με δεκτή λύση
- fk.png (9.58 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 13, 2017 3:08 am
από Γιώργος Μήτσιος
Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
- Φρέσκια επέκταση.PNG (8.69 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές
Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το
στην προέκταση της
ώστε τα
και
να είναι
ίσα .Τότε
1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου
2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !
Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα
σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι
3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .
Φιλικά Γιώργος.
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 13, 2017 9:46 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλημέρα. Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη για τις εξαιρετικές λύσεις !
Ας δώσω μια επέκταση στο θέμα , θέτοντας νέα -ελπίζω ενδιαφέροντα - ερωτήματα.
Φρέσκια επέκταση.PNG
Στο αρχικό σχήμα , θεωρούμε ακόμη το
στην προέκταση της
ώστε τα
και
να είναι
ίσα .Τότε
1) Να δειχθεί ότι το είναι ίσο με την πλευρά του ισοπλεύρου
2) Να δειχθεί ότι ο λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς αυτό του τριγώνου
είναι .. .. Ηπειρώτικος δηλαδή ακέραιος !
Αν δεν σας ..παίδεψα αρκετά (ούτε το latex ) τότε βρείτε ένα
σχετικά εύκολο τρόπο για να δείξετε ότι
3) Η γωνία είναι μικρότερη από μοίρες .
Φιλικά Γιώργος.
Γεια σου Γιώργο.Δίνω μια μια απάντηση στα πρόσθετα ερωτήματα.Ίσως υπάρχει ευκολότερη
Είναι
και
.Άρα
κι επειδή
ισόπλευρο άρα
με
μέσον της
Έτσι ,
(Είναι
).Άρα,
εγγράψιμο
Ακόμη,
ισοσκελές τραπέζιο άρα εγγράψιμο στον ίδιο κύκλο με το
Επομένως
και
Είναι
και
.Άρα για τις εγγεγραμμένες γωνίες
είναι
Επειδή
,αν ήταν
θα είναι
κι έτσι
που είναι άτοπο .
Επομένως
- fk.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές
Re: Φρέσκια κατασκευή
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 16, 2017 1:12 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα. Μιχάλη σ' ευχαριστώ και πάλι για την πλήρη κάλυψη των πρόσθετων ερωτημάτων !
Δίνω απαντήσεις με παραλλαγή και χρήση στοιχείων από τη λύση του Μιχάλη.
- Φρέσκια-πρόσθετα.PNG (11.18 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Το τρίγωνο
είναι
ισόπλευρο άρα
Βρίσκουμε (όπως ο Μιχάλης) ότι τα
είνα
ι ομοκυκλικά και το τρίγωνο
του τύπου
.
Τότε το
είναι
εφαπτόμενο στον περίκυκλο του
άρα
Είναι
οπότε (βλ. σχήμα)
Για το
γ ερώτημα ας προχωρήσουμε.. πισωπατώντας : Θέλουμε
ενώ
..άρα αρκεί
.
Είναι
συνεπώς αρκεί
..δηλ. στο
ισοσκελές αρκεί
Πράγματι είναι ( από νόμο
συνημιτόνων στο
):
άρα τελικά αρκεί να δείξουμε
που ισχύει.
Φιλικά Γιώργος