mathematica.gr

Δίδονται τα σταθερά σημεία και έστω το μέσο του . Θεωρούμε

μεταβλητό ισοσκελές τρίγωνο και έστω το βαρύκεντρό του .

Η ευθεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Οι κύκλοι

τέμνονται ακόμα στο

Πως θα προσδιορίσουμε το για να γίνει το μέγιστο ;

Νίκος

Καλημέρα Νίκο με την αγάπη μας από την Αθήνα.
Θεωρώ ότι αν δεν υπάρχει ευκολότερος τρόπος επίλυσης, το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να τοποθετηθεί στον φάκελο των διαγωνισμών Seniors. Αν επιλύεται ευκολότερα κανένα πρόβλημα. Ας δούμε λοιπόν την ημέτερη διαπραγμάτευση.

Από εφαρμογή του θεωρήματος του Ceva στα τρίγωνα παίρνουμε εύκολα και Εδώ παρατηρούμε ότι που οδηγεί στο ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Επομένως παίρνουμε άρα και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Έτσι προκύπτει και ως παραπληρωματικές γωνίες της
Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε έχουμε Συνεπώς η κορυφή θα κινείται σε Απολλώνιο κύκλο διαμέτρου όταν σημείο της ευθείας αλλά εξωτερικό σημείο του τμήματος και εσωτερικό σημείο του τμήματος με Άρα η ζητούμενη θέση είναι στο σημείο που είναι μέσο του ημικυκλίου καθότι ως γνωστό


edit: Απλά στην τελευταία ανισότητα αντί για τοποθέτησα το σωστό (Ο δαίμων του πληκτρολογίου γαρ).

Σωτήρη Καλημέρα .

Οταν κάποιος φτιάχνει μια άσκηση έχει κάποια πράγματα στο μυαλό του που του φαίνονται εύκολα.

Προβληματίστηκα σε ποιο φάκελο να τη βάλω. Κακώς δεν την έβαλα στο φάκελο που λες .

Στο Θρυλικό βιβλίο " Μέθοδοι επίλυσης Γεωμετρικών προβλημάτων" του Αρίστου Δημητρίου

Στο θέμα 16 διαπραγματεύεται τα σημεία $Petersen" .

Και τη λύση έδωσε :

Ποιός άλλος ; Ο Σωτήρης ο Μεγάλος .


Φιλικά, Νίκος

Ήμουν σίγουρος ότι το παραπάνω θέμα είναι πρωτότυπη κατασκευή του Νίκου. Προσωπικά μου άρεσε πολύ επειδή εμπεριέχει συσχετιζόμενες κινήσεις που πιθανόν να οδηγούν σε ισομετρικούς χώρους. Θεωρώ λοιπόν ότι τέτοια θέματα τα χρειάζονται οι μαθητές που επιλύουν θέματα επιπέδου Ολυμπιάδων και που κατά την άποψη μου για να τα επιλύσουν στηριζόμενοι κατ' ελάχιστο στην μνήμη και κατά μέγιστο στην Μαθηματική σκέψη αρκεί να μπορέσουν ως λύτες να εισέλθουν στον κατασκευαστικό τους πυρήνα για να "ξετυλίξουν", αυτή η διαδικασία σκέψης είναι και ο μηχανισμός του ταλέντου. Κατά την άποψη μου έτσι προκύπτουν πρωτότυπες επιλύσεις. Ως εκ τούτου επαναλαμβάνω ότι θεωρώ πως θέματα όπως αυτό προσφέρουν, όταν μπαίνουν στους φακέλους των διαγωνιστικών Μαθηματικών και καλό θα είναι να τοποθετηθεί εκεί. Εκτός και αν υπάρχουν σημαντικά ευκολότερες λύσεις που τέτοια θέματα τα μετατοπίζουν.