Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4313
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Doloros » Τετ Ιαν 11, 2017 11:05 am

Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν.png
Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν.png (15.73 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

Δίδονται τα σταθερά σημεία B,D και έστω C το μέσο του BD. Θεωρούμε

μεταβλητό ισοσκελές τρίγωνο PCD και έστω G το βαρύκεντρό του .

Η ευθεία BG τέμνει τις PC,PD στα E,Z αντίστοιχα. Οι κύκλοι

(P,C,D)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(P,E,Z) τέμνονται ακόμα στο A

Πως θα προσδιορίσουμε το A για να γίνει το (ABC) μέγιστο ;

Νίκος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 4902
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από S.E.Louridas » Παρ Ιαν 13, 2017 7:32 am

Καλημέρα Νίκο με την αγάπη μας από την Αθήνα.
Θεωρώ ότι αν δεν υπάρχει ευκολότερος τρόπος επίλυσης, το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να τοποθετηθεί στον φάκελο των διαγωνισμών Seniors. Αν επιλύεται ευκολότερα κανένα πρόβλημα. Ας δούμε λοιπόν την ημέτερη διαπραγμάτευση.

Από εφαρμογή του θεωρήματος του Ceva στα τρίγωνα PCT, PTD παίρνουμε εύκολα PC = 4EC και PD = \frac{{5DZ}}{2}. Εδώ παρατηρούμε ότι \angle ACB = \angle APD = \angle AEB, που οδηγεί στο ότι το τετράπλευρο AECB είναι εγγράψιμο. Επομένως παίρνουμε \angle PZA = \angle PEA = \angle CBA, άρα και το τετράπλευρο AZDB είναι εγγράψιμο. Έτσι προκύπτει \angle DAZ = \angle DBZ = \angle CAE και \angle AZD = \angle AEC ως παραπληρωματικές γωνίες της \angle DBA.
Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα AZD, AEC είναι όμοια, οπότε έχουμε \displsystyle{\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{EC}}{{ZD}} = \frac{{PC/4}}{{2PD/5}} = \frac{5}{8}.} Συνεπώς η κορυφή A θα κινείται σε Απολλώνιο κύκλο διαμέτρου NL όταν N σημείο της ευθείας BD αλλά εξωτερικό σημείο του τμήματος CD και L εσωτερικό σημείο του τμήματος CD με \displaystle{\frac{{CL}}{{LD}} = \frac{{NC}}{{ND}} = \frac{5}{8}.} Άρα η ζητούμενη θέση είναι στο σημείο S που είναι μέσο του ημικυκλίου LAN καθότι ως γνωστό AA{'} \leqslant SO.


edit: Απλά στην τελευταία ανισότητα αντί για SQ τοποθέτησα το σωστό SO (Ο δαίμων του πληκτρολογίου γαρ).
Συνημμένα
doloros.png
doloros.png (36.13 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Παρ Ιαν 13, 2017 10:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4313
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Παρ Ιαν 13, 2017 1:38 pm

Σωτήρη Καλημέρα .

Οταν κάποιος φτιάχνει μια άσκηση έχει κάποια πράγματα στο μυαλό του που του φαίνονται εύκολα.

Προβληματίστηκα σε ποιο φάκελο να τη βάλω. Κακώς δεν την έβαλα στο φάκελο που λες .

Στο Θρυλικό βιβλίο " Μέθοδοι επίλυσης Γεωμετρικών προβλημάτων" του Αρίστου Δημητρίου

Στο θέμα 16 διαπραγματεύεται τα σημεία $Petersen" .

Και τη λύση έδωσε :

Ποιός άλλος ; Ο Σωτήρης ο Μεγάλος . :clap2: :clap2:


Φιλικά, Νίκος


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 4902
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μεταβλητό ισοσκελές και μέγιστο εμβαδόν

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από S.E.Louridas » Παρ Ιαν 13, 2017 11:18 pm

Ήμουν σίγουρος ότι το παραπάνω θέμα είναι πρωτότυπη κατασκευή του Νίκου. Προσωπικά μου άρεσε πολύ επειδή εμπεριέχει συσχετιζόμενες κινήσεις που πιθανόν να οδηγούν σε ισομετρικούς χώρους. Θεωρώ λοιπόν ότι τέτοια θέματα τα χρειάζονται οι μαθητές που επιλύουν θέματα επιπέδου Ολυμπιάδων και που κατά την άποψη μου για να τα επιλύσουν στηριζόμενοι κατ' ελάχιστο στην μνήμη και κατά μέγιστο στην Μαθηματική σκέψη αρκεί να μπορέσουν ως λύτες να εισέλθουν στον κατασκευαστικό τους πυρήνα για να "ξετυλίξουν", αυτή η διαδικασία σκέψης είναι και ο μηχανισμός του ταλέντου. Κατά την άποψη μου έτσι προκύπτουν πρωτότυπες επιλύσεις. Ως εκ τούτου επαναλαμβάνω ότι θεωρώ πως θέματα όπως αυτό προσφέρουν, όταν μπαίνουν στους φακέλους των διαγωνιστικών Μαθηματικών και καλό θα είναι να τοποθετηθεί εκεί. Εκτός και αν υπάρχουν σημαντικά ευκολότερες λύσεις που τέτοια θέματα τα μετατοπίζουν.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες