Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Δίνονται τρία ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΕΔ, ΑΖΗ με κοινή κορυφή το σημείο Α και σε τυχαία θέση στο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Αν Κ,Λ,Μ είναι τα μέσα των τμημάτων ΕΓ, ΔΖ και ΗΒ αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.
Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα
Αν Κ,Λ,Μ είναι τα μέσα των τμημάτων ΕΓ, ΔΖ και ΗΒ αντίστοιχα να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.
Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα
- Συνημμένα
-
- ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΑΠΟ ΤΡΙΑ ΙΣΟΠΛΕΥΡΑ ΤΡΙΓΩΝΑ.png (31.28 KiB) Προβλήθηκε 4316 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Κυρ Μαρ 27, 2011 2:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Στάθη καλωσόρισες στο και καλή συνέχεια.
Γνωστό το όμορφο αυτό πρόβλημα, αλλά δεν γνωρίζω την προέλευσή του. Μου θύμισε την πρώτη μας συνάντηση με τους τρεις Νίκους ( Δεργιαδές, Ιωσηφίδης, Κυριαζής ) και Ανδρέα Πούλο στο Πανόραμα Θεσσαλονίκης πριν κάμποσα χρόνια ( 2005 ).
Ο Νίκος Δεργιαδές είχε φέρει τον φορητό υπολογιστή του ( ελληνιστί, Laptop ) και μας έδειξε ότι το πρόβλημα αυτό αληθεύει και όταν το σημείο αντικατασταθεί από ένα τυχόν επίσης ισόπλευρο τρίγωνο έστω
Δεν βάζω προς το παρόν τη λύση που έχω υπόψη μου για το πρόβλημα που έχει τεθεί, για να το προσπαθήσουν όσοι δεν το έχουν ξαναδεί.
Για τη γενική περίπτωση, όπως στο παρακάτω σχήμα, δεν κατάφερα να βρω κάποια λύση.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον επίσης αποτέλεσμα ( σχετικό με το πρόβλημα που έχει τεθεί, αλλά δεν αληθεύει στη γενίκευση ), είναι ότι οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του εξαγώνου που ορίζεται από τις κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων εκτός της τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Το ίδιο αποτέλεσμα ( της σύγκλισης των ευθειών αυτών ) ισχύει και όταν τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το είναι όμοια ισοσκελή αντί ισόπλευρα και οφείλεται στον δικό μας Νίκο Κυριαζή, ως προς την ελληνική ( τουλάχιστον ) βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου.
Γνωστό το όμορφο αυτό πρόβλημα, αλλά δεν γνωρίζω την προέλευσή του. Μου θύμισε την πρώτη μας συνάντηση με τους τρεις Νίκους ( Δεργιαδές, Ιωσηφίδης, Κυριαζής ) και Ανδρέα Πούλο στο Πανόραμα Θεσσαλονίκης πριν κάμποσα χρόνια ( 2005 ).
Ο Νίκος Δεργιαδές είχε φέρει τον φορητό υπολογιστή του ( ελληνιστί, Laptop ) και μας έδειξε ότι το πρόβλημα αυτό αληθεύει και όταν το σημείο αντικατασταθεί από ένα τυχόν επίσης ισόπλευρο τρίγωνο έστω
Δεν βάζω προς το παρόν τη λύση που έχω υπόψη μου για το πρόβλημα που έχει τεθεί, για να το προσπαθήσουν όσοι δεν το έχουν ξαναδεί.
Για τη γενική περίπτωση, όπως στο παρακάτω σχήμα, δεν κατάφερα να βρω κάποια λύση.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον επίσης αποτέλεσμα ( σχετικό με το πρόβλημα που έχει τεθεί, αλλά δεν αληθεύει στη γενίκευση ), είναι ότι οι ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του εξαγώνου που ορίζεται από τις κορυφές των ισόπλευρων τριγώνων εκτός της τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Το ίδιο αποτέλεσμα ( της σύγκλισης των ευθειών αυτών ) ισχύει και όταν τα τρίγωνα με κοινή κορυφή το είναι όμοια ισοσκελή αντί ισόπλευρα και οφείλεται στον δικό μας Νίκο Κυριαζή, ως προς την ελληνική ( τουλάχιστον ) βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου.
- Συνημμένα
-
- Γεωμετρία - Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Γενίκευση, από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα.
- f=22_t=14109.PNG (28.83 KiB) Προβλήθηκε 5322 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 679
- Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
- Τοποθεσία: Σπάρτη
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ονομάζουμε και
1ο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα
Προσθέτουμε κατά μέλη:
Δουλεύοντας όμοια, βρίσκουμε
Επομένως, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
1ο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα
Προσθέτουμε κατά μέλη:
Δουλεύοντας όμοια, βρίσκουμε
Επομένως, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Στράτης Αντωνέας
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Κώστα νομίζω ότι υπάρχει απλή λύση με διανύσματα και 'τριπλή παράλληλη μεταφορά':vittasko έγραψε:Για τη γενική περίπτωση, όπως στο παρακάτω σχήμα, δεν κατάφερα να βρω κάποια λύση.
Αναφερόμενος πάντοτε στο σχήμα σου, ας είναι Ο το κέντρο του ισόπλευρου τριγώνου ΑΑ'Α''. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ = u, ΟΑ' = v, ΟΑ'' = w, και μεταφέρουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ABC, A'DE, A''ZH κατά τα διανύσματα -u, -v, -w, αντίστοιχα. Προκύπτουν έτσι τρία ισόπλευρα τρίγωνα OB'C', OD'E', OZ'H'. Σύμφωνα με την αρχική πρόταση τα μέσα K', L', M' των C'D', E'Z', H'B', αντίστοιχα, σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, άρα τα διανύσματα M'L', L'K', K'M' έχουν ίσα μήκη και σχηματίζουν ανά δύο γωνίες 60 μοιρών.
Έστω K, L, M τα μέσα των CD, EZ, HB, αντίστοιχα. Με πράξεις διανυσμάτων, και λόγω των B'B = C'C = u, D'D = E'E = v, Z'Z = H'H = w, εύκολα προκύπτουν οι σχέσεις ML = M'L' + (v-u)/2, LK = L'K' + (u-w)/2, KM = K'M' + (w-v)/2. Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα (v-u)/2, (u-w)/2, (w-v)/2 έχουν ίσα μήκη και σχηματίζουν ανά δύο γωνίες 60 μοιρών. Συμπεραίνουμε (ισότητες τριγώνων), επειδή το ίδιο ισχύει και για τα διανύσματα M'L', L'K', K'M', ότι και τα διανύσματα ML, LK, KM έχουν ίσα μήκη και σχηματίζουν ανά δύο γωνίες 60 μοιρών: το τρίγωνο KLM είναι ισόπλευρο.
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Γιώργο σ' ευχαριστώ για την παρέμβασή σου και τη λύση με διανύσματα, με τα οποία δυστυχώς δεν τα καταφέρνω.
Βλέπω τώρα, διαβάζοντας τη λύση σου, ότι το κλειδί για την απόδειξη στη γενική περίπτωση, είναι η τριπλή παράλληλη μεταφορά των δοσμένων ισόπλευρων τριγώνων κατά τις διευθύνσεις αντιστοίχως, όπου είναι το περίκεντρο του και κατα διάστημα , ώστε τα να ταυτιστούν με το
Έστω ότι είναι τα "αντίγραφα" των αντιστοίχως και τότε σύμφωνα με το αρχικό πρόβλημα όπως λες, έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, όπου είναι αντιστοίχως, τα μέσα των
Είναι προφανές ότι ισχύει
Στο τετράπλευρο τώρα, από και λόγω και ,
όπου αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει και
Ομοίως έχουμε και και και
Από συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο που ορίζεται από τα σημεία
, είναι ισόπλευρο.
Στο ισόπλευρο αυτό τρίγωνο που περιγράφει το ισόπλευρο τρίγωνο από , συμπεραίνεται ότι και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Και πάλι σ' ευχαριστώ, Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις λεπτομέρειες για τις αποδείξεις των παραπάνω, που βασίζονται εν μέρει σε κάποιο πρόβλημα που έχουμε ξανασυζητήσει στο .
Βλέπω τώρα, διαβάζοντας τη λύση σου, ότι το κλειδί για την απόδειξη στη γενική περίπτωση, είναι η τριπλή παράλληλη μεταφορά των δοσμένων ισόπλευρων τριγώνων κατά τις διευθύνσεις αντιστοίχως, όπου είναι το περίκεντρο του και κατα διάστημα , ώστε τα να ταυτιστούν με το
Έστω ότι είναι τα "αντίγραφα" των αντιστοίχως και τότε σύμφωνα με το αρχικό πρόβλημα όπως λες, έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, όπου είναι αντιστοίχως, τα μέσα των
Είναι προφανές ότι ισχύει
Στο τετράπλευρο τώρα, από και λόγω και ,
όπου αποδεικνύεται εύκολα ότι ισχύει και
Ομοίως έχουμε και και και
Από συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο που ορίζεται από τα σημεία
, είναι ισόπλευρο.
Στο ισόπλευρο αυτό τρίγωνο που περιγράφει το ισόπλευρο τρίγωνο από , συμπεραίνεται ότι και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Και πάλι σ' ευχαριστώ, Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα τις λεπτομέρειες για τις αποδείξεις των παραπάνω, που βασίζονται εν μέρει σε κάποιο πρόβλημα που έχουμε ξανασυζητήσει στο .
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο τρίγωνα από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Απόδειξη της γενίκευσης, από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα.
- f=22_t=14109(a).PNG (50.01 KiB) Προβλήθηκε 5014 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Δευ Μαρ 21, 2011 12:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Είστε υπέροχοι!!!
σας ευχαριστώ
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
σας ευχαριστώ
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ας δώσω τότε, μια και υπάρχει πλέον και πληρέστερο σχήμα, τις λεπτομέρειες για την διανυσματική ισότητα ML = M'L' + (v-u)/2:vittasko έγραψε:Γιώργο σ' ευχαριστώ για την παρέμβασή σου και τη λύση με διανύσματα, με τα οποία δυστυχώς δεν τα καταφέρνω.
ML = OL - OM = (2OL)/2 - (2OM)/2 = (OZ+OE)/2 - (OB+OH)/2 = (OZ+OE-OB-OH)/2 = [(OZ'+Ζ'Ζ) + (OE'+Ε'Ε) - (OB'+Β'Β) - (OH'+Η'Η)]/2 = [(OZ'+w) + (OE'+v) - (OB'+u) - (OH'+w)]/2 = (OZ'+OE')/2 - (OB'+OH')/2 + (v-u)/2 = (2OL')/2 - (2OM')/2 + (v-u)/2 = (OL'-OM') + (v-u)/2 = M'L' + (v-u)/2
[Ανάλογα προκύπτουν και οι ισότητες LK = L'K' + (u-w)/2, KM = K'M' + (w-v)/2.]
Ευχαριστούμε και εμείς,
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Εξαιρετικά ενδιφέρον το πρόβλημα και θαυμάσιες οι λύσεις που μας παρουσίασαν ο Κώστας , ο Γιώργος, και ο Στράτος.
Με την ευκαιρία, να ευχαριστήσω και το Στάθη που το έθεσε και να τον καλωσορίσω στη παρέα μας.
Σίγουρα είναι ένα δύσκολο πρόβλημα που ξεφεύγει από τα πλαίσια της σχολικής Γεωμετρίας και ίσως θα έπρεπε να ενταχθεί στο φάκελο των Ολυμπιάδων.
Υπάρχει και γενίκευση με τυχαίο αρχικό τρίγωνο και όμοια τα τρία τρίγωνα στις κορυφές του, την οποία θα αναλύσω και αποδείξω αργότερα με χρήση μετασχηματισμών ομοιότητας.
Με την ευκαιρία, να ευχαριστήσω και το Στάθη που το έθεσε και να τον καλωσορίσω στη παρέα μας.
Σίγουρα είναι ένα δύσκολο πρόβλημα που ξεφεύγει από τα πλαίσια της σχολικής Γεωμετρίας και ίσως θα έπρεπε να ενταχθεί στο φάκελο των Ολυμπιάδων.
Υπάρχει και γενίκευση με τυχαίο αρχικό τρίγωνο και όμοια τα τρία τρίγωνα στις κορυφές του, την οποία θα αναλύσω και αποδείξω αργότερα με χρήση μετασχηματισμών ομοιότητας.
- Συνημμένα
-
- γενίκευση.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 4938 φορές
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ανδρέα, πολύ ωραίο.
Ήμουνα σίγουρος ότι το πρόβλημα δεν αληθεύει για όμοια ισοσκελή τρίγωνα και να που εμφανίζεται η γενίκευσή του για τυχόντα όμοια τρίγωνα.
Με προβληματίζει όμως το πως πρέπει να συνδυάζονται οι κορυφές του κεντρικού τριγώνου με αυτές των περιφερειακών. Ισχύει το αποτέλεσμα σε οποιοδήποτε σχήμα προκύπτει ; Θα το κοιτάξω με προσοχή στον υπολογιστή και περιμένω με ενδιαφέρον περισσότερες λεπτομέρειες.
Επίσης, ας μας δώσει κάποιος ( αν έχει υπόψη του ), βιβλιογραφικές αναφορές σχετικές με τα όσα συζητάμε εδώ ( προτάσεις - αποδείξεις ).
Καλή σου μέρα, Κώστας Βήττας.
Ήμουνα σίγουρος ότι το πρόβλημα δεν αληθεύει για όμοια ισοσκελή τρίγωνα και να που εμφανίζεται η γενίκευσή του για τυχόντα όμοια τρίγωνα.
Με προβληματίζει όμως το πως πρέπει να συνδυάζονται οι κορυφές του κεντρικού τριγώνου με αυτές των περιφερειακών. Ισχύει το αποτέλεσμα σε οποιοδήποτε σχήμα προκύπτει ; Θα το κοιτάξω με προσοχή στον υπολογιστή και περιμένω με ενδιαφέρον περισσότερες λεπτομέρειες.
Επίσης, ας μας δώσει κάποιος ( αν έχει υπόψη του ), βιβλιογραφικές αναφορές σχετικές με τα όσα συζητάμε εδώ ( προτάσεις - αποδείξεις ).
Καλή σου μέρα, Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ας δούμε τις λεπτομέρειες για την απόδειξη των αποτελεσμάτων που αναφέρθηκαν πιο πάνω.
Έστω το μέσον του και από και , συμπεραίνεται ότι και και επομένως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Άρα έχουμε και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στο ( μη κυρτό ) τετράλευρο τώρα, από και σύμφωνα με σχετικό πρόβλημα που έχει συζητηθεί Εδώ, συμπεραίνεται ότι όπου είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
στα σχήματα f=22_t=14109(b), f=22_t=14109(c), εμφανίζονται οι βοηθητικές γραμμές για αυτοτελή απόδειξη του ότι
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Για την περίπτωση όταν και τα προς το αυτό μέρος της εργαζόματσε ανάλογα και αποδεικνύεται ότι αληθεύουν τα ίδια αποτελέσματα, αλλά με την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας
Απόδειξη.Δίνεται τρίγωνο με εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω τα σημεία επί των ευθειών αντιστοίχως και εκατέρωθεν της , έτσι ώστε να είναι . Αποδείξτε ότι όπου είναι αντιστοίχως τα μέσα των και ότι όπου είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
Έστω το μέσον του και από και , συμπεραίνεται ότι και και επομένως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Άρα έχουμε και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στο ( μη κυρτό ) τετράλευρο τώρα, από και σύμφωνα με σχετικό πρόβλημα που έχει συζητηθεί Εδώ, συμπεραίνεται ότι όπου είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
στα σχήματα f=22_t=14109(b), f=22_t=14109(c), εμφανίζονται οι βοηθητικές γραμμές για αυτοτελή απόδειξη του ότι
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Για την περίπτωση όταν και τα προς το αυτό μέρος της εργαζόματσε ανάλογα και αποδεικνύεται ότι αληθεύουν τα ίδια αποτελέσματα, αλλά με την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Γενίκευση, από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα - Συμπληρωματικές αποδείξεις - <A = 60.
- f=22_t=14109(b).PNG (19.17 KiB) Προβλήθηκε 4861 φορές
-
- Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Γενίκευση, από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα - Συμπληρωματικές αποδείξεις - <A = 120.
- f=22_t=14109(c).PNG (14.54 KiB) Προβλήθηκε 4861 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τρί Μαρ 22, 2011 2:44 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Απόδειξη.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Δίνονται τρία ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή κορυφή το σημείο και σε τυχούσα θέση στο επίπεδο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αν είναι τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα, να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Έστω τα μέσα αντιστοίχως των και στο τρίγωνο με τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα με , σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι και
Ομοίως, έχουμε ότι και τα είναι ισοσκελή τρίγωνα με τις γωνίες των βάσεών τους ίσες με
Έτσι, στο τρίγωνο τα σημεία ταυτίζονται με τα περίκεντρα των ισοπλεύρων τριγώνων αντιστοίχως, που κατασκευάζονται επί των πλευρών του και προς το εξωτερικό μέρος αυτού.
Άρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Ναπολέοντα, συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και η πρόταση έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα με και , επί των πλευρών του αντιστοίχως και προς το εξωτερικό μέρος αυτού. Αποδείξτε ότι και , όπου είναι το μέσον της πλευράς .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το παραπάνω Λήμμα.
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Απόδειξη της πρότασης.
- f=22_t=14109(d).PNG (37.81 KiB) Προβλήθηκε 4830 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Κώστα, καλημέρα
Πρόκειται για το Θεώρημα Clifford-Cayley, δες και στο http://www.maa.org/editorial/knot/similarity.html
Τα τριγωνα με κοινή κορυφή είναι όμοια με ίδιο προσανατολισμό και ίσες γωνίες στην κοινή κορυφή.
Στην απόδειξη μου, χρησιμοποιώ το ακόλουθο
Λήμμα:
Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (ίδιου προσανατολισμού). Τότε τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΑ', ΒΒ' και ΓΓ' ορίζουν όμοιο τρίγωνο με τα αρχικά.
Το Λήμμα γενικεύεται αν αντικαταστήσω τα Κ, Λ, Μ με σημεία που διαιρούν τις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ' σε ίσους λόγους, η ακόμα γενικότερα, αν τα Κ, Λ, Μ είναι κορυφές όμοίων τριγώνων με βάσεις τις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ'.
Ελπίζω να καταφέρω μέχρι το βράδυ να δώσω σχήματα και αναλυτική απόδειξη.
Πρόκειται για το Θεώρημα Clifford-Cayley, δες και στο http://www.maa.org/editorial/knot/similarity.html
Τα τριγωνα με κοινή κορυφή είναι όμοια με ίδιο προσανατολισμό και ίσες γωνίες στην κοινή κορυφή.
Στην απόδειξη μου, χρησιμοποιώ το ακόλουθο
Λήμμα:
Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' (ίδιου προσανατολισμού). Τότε τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΑ', ΒΒ' και ΓΓ' ορίζουν όμοιο τρίγωνο με τα αρχικά.
Το Λήμμα γενικεύεται αν αντικαταστήσω τα Κ, Λ, Μ με σημεία που διαιρούν τις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ' σε ίσους λόγους, η ακόμα γενικότερα, αν τα Κ, Λ, Μ είναι κορυφές όμοίων τριγώνων με βάσεις τις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ'.
Ελπίζω να καταφέρω μέχρι το βράδυ να δώσω σχήματα και αναλυτική απόδειξη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Έτυχε τελευταία να έχω συναντήσει αυτό το λήμμα ως άσκηση σε ένα ρουμάνικο βιβλίο για μικρές τάξεις και το θυμήθηκα.vittasko έγραψε:.............
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα με και , επί των πλευρών του αντιστοίχως και προς το εξωτερικό μέρος αυτού. Αποδείξτε ότι και , όπου είναι το μέσον της πλευράς .
Κώστας Βήττας.
Λοιπόν, αν ονομάσουμε Ζ,Η τα συμμετρικά των Β,C ως προς τα D , E αντίστοιχα, τότε τα τρίγωνα ΑΖC και ΑΒΗ είναι ίσα , αφού πχ ΑΖ=ΑΒ , ΑΗ=ΑC και οι γωνίες ΖΑC, ΒΑΗ είναι ίσες (με γωνία Α + 2ω η κάθε μία) .Άρα ZC=BH οπότε ΜD = ΜΕ , ως μισά ίσων τμημάτων.
Το άλλο σκέλος είναι μετακίνηση γωνιών και θα προσπαθήσω να το φτιάξω μετά το σχολείο.
Προσθήκη :
Αν οι ευθείες ΖC , ΒΗ τέμνονται στο Κ, τότε η ισότητα των παραπάνω τριγώνων δίνει ότι τα τετράπλευρα ΑΚCH , ΑΚΒΖ είναι εγγράψιμα και επειδή η γωνία DME είναι ίση με τη γωνία ZKH, συμπεραίνουμε ότι :
.
Άρα από το ισοσκελές τρίγωνο ΜDE, παίρνουμε ότι και οι γωνίες MDE , MED είναι ίσες με ω.
Υπάρχει και πιο απλός τρόπος για το β' σκέλος, αλλά επέλεξα αυτόν για να γράψω πιο εύκολα την απόδειξη.Για παράδειγμα μπορούμε να εργαστούμε με εξωτερικές γωνίες στο τρίγωνο ΖΚΒ και να υπολογίσουμε τη γωνία ΖΚΗ .
Μπάμπης
( Συγνώμη για τυχόν τυπογραφικά, αλλά θα το ξαναδώ .Χτύπησε το ...ρημάδι !)
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ανδρέα, σ' ευχαριστώ για τον γνωστό σύνδεσμο Cut The Knot, όπου όμως δεν είχε τύχει να δω αυτό το πλούσιο υλικό και δεν έχω καταλάβει τι πωλείται σ' αυτή την ιστοσελίδα ( τα προβλήματα ; οι αποδείξεις ; ) και πως.
Πολύ ωραίο το Λήμμα στο οποίο αναφέρθηκες, για το οποίο βρήκα μία στοιχειώδη απόδειξη και θα την βάλω αργότερα, αν διαφέρει από την δική σου.
Μπάμπη, έχει τύχει να αναφερθώ παλιότερα Εδώ, στο Λήμμα που ανέφερα πιο πάνω, αλλά δεν ήξερα ότι είναι γνωστό και με απλούστερη απόδειξη για το δεύτερο ερώτημα.
Από τότε βέβαια ( Φεβρουάριος 2007 ), δεν έχω αξιωθεί να έλέγξω αν η απόδειξη που έστειλα στο mathlinks.ro φόρουμ για το πρόβλημα του δικού μας Νίκου Κυριαζή, είναι η ίδια ή παρόμοια με την δική του, για την οποία όμως θέλει ψάξιμο στο βιβλίο του, επειδή βασίζεται διαδοχικά σε άλλες προτάσεις. Ίσως τώρα είναι μία ευκαιρία να το κάνω.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Τελικά βρήκα μία συνθετική λύση για το γενικό πρόβλημα, το γνωστό πιο πάνω ως Θεώρημα Clifford - Cayley, όπου χρησιμοποιείται το Λήμμα που έδωσε ο Ανδρέας και θα επανέλθω αργότερα, αν διαφέρουν οι αποδείξεις.
Πολύ ωραίο το Λήμμα στο οποίο αναφέρθηκες, για το οποίο βρήκα μία στοιχειώδη απόδειξη και θα την βάλω αργότερα, αν διαφέρει από την δική σου.
Μπάμπη, έχει τύχει να αναφερθώ παλιότερα Εδώ, στο Λήμμα που ανέφερα πιο πάνω, αλλά δεν ήξερα ότι είναι γνωστό και με απλούστερη απόδειξη για το δεύτερο ερώτημα.
Από τότε βέβαια ( Φεβρουάριος 2007 ), δεν έχω αξιωθεί να έλέγξω αν η απόδειξη που έστειλα στο mathlinks.ro φόρουμ για το πρόβλημα του δικού μας Νίκου Κυριαζή, είναι η ίδια ή παρόμοια με την δική του, για την οποία όμως θέλει ψάξιμο στο βιβλίο του, επειδή βασίζεται διαδοχικά σε άλλες προτάσεις. Ίσως τώρα είναι μία ευκαιρία να το κάνω.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Τελικά βρήκα μία συνθετική λύση για το γενικό πρόβλημα, το γνωστό πιο πάνω ως Θεώρημα Clifford - Cayley, όπου χρησιμοποιείται το Λήμμα που έδωσε ο Ανδρέας και θα επανέλθω αργότερα, αν διαφέρουν οι αποδείξεις.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Μαρ 23, 2011 2:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Πρόταση-Μετασχηματισμός ομοιότητας
Για δύο δεδομένα άνισα ευθύγραμμα τμήματα AB, CD, υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας (σύνθεση στροφής με ομοιοθεσία) που απεικονίζει το πρώτο στο δεύτερο. Το κέντρο του μετασχηματισμού αυτού, είναι το δεύτερο κοινό σημείο Ε των κύκλων που διέρχονται από το σημείο τομής των ΑC και BD (όπου Α,C και B,D ζεύγη ομόλογων σημείων) και τα άκρα των AB, CD. Ο λόγος του της παραπάνω ομοιότητας , ισούται με EA/EC.
Μία δεύτερη ομοιότητα με το ίδιο κέντρο και λόγο ΕΑ/ΕΒ, απεικονίζει το τμήμα ΑC στο BD.
Η απόδειξη είναι άμεση με χρήση των ομοίων τριγώνψν ΕΑB και ECD, η των EAC και EBD.
Λήμμα:
Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ (ίδιου προσανατολισμού). Τότε τα μέσα Η, Θ, Ι των ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ ορίζουν όμοιο τρίγωνο με τα δύο πρώτα.
Το Λήμμα γενικεύεται αν αντικαταστήσω τα Η, Θ, Ι με σημεία που διαιρούν τις ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ σε ίσους λόγους, η ακόμα γενικότερα, αν τα Η, Θ, Ι είναι κορυφές όμοίων τριγώνων με βάσεις τις ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ.
Απόδειξη:
Η ομοιότητα που απεικονίζει το ΑΒΓ στο ΔΕΖ , έχει κέντρο το Κ και λόγο ισο με ΚΑ/ΚΔ ενώ εκείνος που απεικονίζει το ΑΔ στο ΓΖ έχει το ίδιο κέντρο και λόγο ΚΑ/ΚΓ. Γενικά, το Κ είναι κοινό κέντρο όλων των ομοιοτήτων που απεικονίζουν τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ το ένα στο άλλο.
Έτσι, υπάρχει μία κοινή ομοιότητα κέντρου Κ, (με λόγο ΚΑ/ΚΗ και γωνία ΗΚΑ) που απεικονίζει το ΑΒ στο ΗΘ και το ΑΓ στο ΗΙ. Αυτή η ομοιότητα απεικονίζει το ΑΒΓ στο ΗΘΙ.
Θα επανέλθω με την απόδειξη του αρχικού προβλήματος.
Για δύο δεδομένα άνισα ευθύγραμμα τμήματα AB, CD, υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας (σύνθεση στροφής με ομοιοθεσία) που απεικονίζει το πρώτο στο δεύτερο. Το κέντρο του μετασχηματισμού αυτού, είναι το δεύτερο κοινό σημείο Ε των κύκλων που διέρχονται από το σημείο τομής των ΑC και BD (όπου Α,C και B,D ζεύγη ομόλογων σημείων) και τα άκρα των AB, CD. Ο λόγος του της παραπάνω ομοιότητας , ισούται με EA/EC.
Μία δεύτερη ομοιότητα με το ίδιο κέντρο και λόγο ΕΑ/ΕΒ, απεικονίζει το τμήμα ΑC στο BD.
Η απόδειξη είναι άμεση με χρήση των ομοίων τριγώνψν ΕΑB και ECD, η των EAC και EBD.
Λήμμα:
Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ (ίδιου προσανατολισμού). Τότε τα μέσα Η, Θ, Ι των ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ ορίζουν όμοιο τρίγωνο με τα δύο πρώτα.
Το Λήμμα γενικεύεται αν αντικαταστήσω τα Η, Θ, Ι με σημεία που διαιρούν τις ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ σε ίσους λόγους, η ακόμα γενικότερα, αν τα Η, Θ, Ι είναι κορυφές όμοίων τριγώνων με βάσεις τις ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ.
Απόδειξη:
Η ομοιότητα που απεικονίζει το ΑΒΓ στο ΔΕΖ , έχει κέντρο το Κ και λόγο ισο με ΚΑ/ΚΔ ενώ εκείνος που απεικονίζει το ΑΔ στο ΓΖ έχει το ίδιο κέντρο και λόγο ΚΑ/ΚΓ. Γενικά, το Κ είναι κοινό κέντρο όλων των ομοιοτήτων που απεικονίζουν τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ το ένα στο άλλο.
Έτσι, υπάρχει μία κοινή ομοιότητα κέντρου Κ, (με λόγο ΚΑ/ΚΗ και γωνία ΗΚΑ) που απεικονίζει το ΑΒ στο ΗΘ και το ΑΓ στο ΗΙ. Αυτή η ομοιότητα απεικονίζει το ΑΒΓ στο ΗΘΙ.
Θα επανέλθω με την απόδειξη του αρχικού προβλήματος.
- Συνημμένα
-
- κέντρο ομοιότητας.png (17.03 KiB) Προβλήθηκε 4625 φορές
-
- ομοιότητα τριγώνων-2.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 4625 φορές
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ανδρέα καλημέρα κι' όπως λέει και το τραγούδι, σε ακολουθώ με πιο προσιτές ( σε μένα ) αποδείξεις.
'Εστω τα δοσμένα όμοια τρίγωνα όπως ορίζεται στην εκφώνηση του "ιδίου προσανατολισμού" ή "ευθέως όμοια" (*) και ας είναι το τρίγωνο ίσο προς το με και και "ευθέως ίσα τρίγωνα", που προκύπτει το ένα από το άλλο, με στροφή του περί το .
Επί πλέον ας είναι και έστω τα μέσα των αντιστοίχως.
Είναι προφανές ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα δοσμένα τρίγωνα και το
και άρα έχουμε ότι και .
Από τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα γιατί έχουν και ,
έχουμε ότι και
Από και και ,
από όπου παίρνουμε και
συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και άρα έχουμε και
Από και που μας δίνει , συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι όμοιο προς τα δοσμένα όμοια τρίγωνα και το Λήμμα έχει αποδειχθει.
Κώστας Βήττας.
(*) Θα λέμε ότι δύο όμοια τρίγωνα με και , ότι είναι του "ιδίου προσανατολισμού" ή "ευθέως όμοια", αν για τα σημεία επί των ευθειών αντιστοίχως και και και προκύπτει ότι
Δεν ξέρω αν αυτός είναι ο κατάλληλος όρισμός, που να προσδιορίζει ως του "ιδίου προσανατολισμού" δύο όμοια τρίγωνα και ελπίζω να το κατάλαβα σωστά.
Απόδειξη.AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Έστω δύο όμοια τρίγωνα και ( ίδιου προσανατολισμού ). Τότε τα μέσα των αντιστοίχως, ορίζουν όμοιο τρίγωνο με τα αρχικά.
Το Λήμμα γενικεύεται αν αντικαταστήσω τα με σημεία που διαιρούν τις σε ίσους λόγους, η ακόμα γενικότερα, αν τα είναι κορυφές όμοίων τριγώνων με βάσεις τις αντιστοίχως.
'Εστω τα δοσμένα όμοια τρίγωνα όπως ορίζεται στην εκφώνηση του "ιδίου προσανατολισμού" ή "ευθέως όμοια" (*) και ας είναι το τρίγωνο ίσο προς το με και και "ευθέως ίσα τρίγωνα", που προκύπτει το ένα από το άλλο, με στροφή του περί το .
Επί πλέον ας είναι και έστω τα μέσα των αντιστοίχως.
Είναι προφανές ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα δοσμένα τρίγωνα και το
και άρα έχουμε ότι και .
Από τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα γιατί έχουν και ,
έχουμε ότι και
Από και και ,
από όπου παίρνουμε και
συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και άρα έχουμε και
Από και που μας δίνει , συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι όμοιο προς τα δοσμένα όμοια τρίγωνα και το Λήμμα έχει αποδειχθει.
Κώστας Βήττας.
(*) Θα λέμε ότι δύο όμοια τρίγωνα με και , ότι είναι του "ιδίου προσανατολισμού" ή "ευθέως όμοια", αν για τα σημεία επί των ευθειών αντιστοίχως και και και προκύπτει ότι
Δεν ξέρω αν αυτός είναι ο κατάλληλος όρισμός, που να προσδιορίζει ως του "ιδίου προσανατολισμού" δύο όμοια τρίγωνα και ελπίζω να το κατάλαβα σωστά.
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Γενίκευση, θεώρημα Clifford - Cayley - Απόδειξη του Λήμματος Ανδρέα Βαρβεράκη.
- f=22_t=14109(e).PNG (25.66 KiB) Προβλήθηκε 4570 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Δύο τρίγωνα θεωρούμε ότι έχουν τον ίδιο προανατολισμό, αν το ένα είναι η εικόνα του άλλου μέσω "ομορρόπου ομοιότητας", δηλαδή σύνθεσης μίας στροφής και μίας ομοιοθεσίας με το ίδιο κέντρο. Στην "αντίρροπο ομοιότητα", έχουμε σύνθεση ανάκλασης και ομοιοθεσίας και έχουμε τρίγωνα διαφορετικού προσανατολισμού.
Επίσης μπορούμε να ορίσουμε τον προσανατολισμό μέσω της φοράς των αντίστοιχων γωνιών.
Πάμε τώρα στο γενικό πρόβλημα:
Στις κορυφές τυχόντος τριγώνου ΑΒΓ, κατασκευάζουμε όμοια προς αυτό και ιδίου προσανατολισμού τρίγωνα ΑΒ'Γ', Α'ΒΓ'' και Α''Β''Γ. Τότε, τα μέσα Κ, Λ και Μ των Α'Α'', Β'Β'' και Γ'Γ'' αντίστοιχα, είναι κορυφές ομοίου προς το ΑΒΓ τριγώνου.
Απόδειξη
Έστω Ρ και Ν τα μέσα των ΓΓ'' και ΒΒ'' αντίστοιχα. Σύμφωνα με το Λήμμα που αποδείξαμε, το τρίγωνο ΚΝΡ είναι όμοιο προς τα Α'ΒΓ'' και Α''Β''Γ. Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι όμοιο και με το ΚΛΜ.
ΡΜ/ΝΛ=ΓΓ'/ΒΒ' και ΡΜ//ΒΒ', ΝΛ//ΓΓ'. Επίσης η γωνία των ΒΒ', ΓΓ' ισούται με την Α, (από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΒ' και ΑΓΓ') και ΒΒ'/ΓΓ'=ΑΒ/ΑΓ.
Επομένως ΡΚ/ΝΚ=ΡΜ/ΝΛ και σχηματίζουν ίσες γωνίες, επομένως τα τρίγωνα ΚΡΜ και ΚΝΛ είναι όμοια. Έτσι το ΚΛΜ είναι όμοιο προς το ΚΡΝ.
Επίσης μπορούμε να ορίσουμε τον προσανατολισμό μέσω της φοράς των αντίστοιχων γωνιών.
Πάμε τώρα στο γενικό πρόβλημα:
Στις κορυφές τυχόντος τριγώνου ΑΒΓ, κατασκευάζουμε όμοια προς αυτό και ιδίου προσανατολισμού τρίγωνα ΑΒ'Γ', Α'ΒΓ'' και Α''Β''Γ. Τότε, τα μέσα Κ, Λ και Μ των Α'Α'', Β'Β'' και Γ'Γ'' αντίστοιχα, είναι κορυφές ομοίου προς το ΑΒΓ τριγώνου.
Απόδειξη
Έστω Ρ και Ν τα μέσα των ΓΓ'' και ΒΒ'' αντίστοιχα. Σύμφωνα με το Λήμμα που αποδείξαμε, το τρίγωνο ΚΝΡ είναι όμοιο προς τα Α'ΒΓ'' και Α''Β''Γ. Έτσι, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι όμοιο και με το ΚΛΜ.
ΡΜ/ΝΛ=ΓΓ'/ΒΒ' και ΡΜ//ΒΒ', ΝΛ//ΓΓ'. Επίσης η γωνία των ΒΒ', ΓΓ' ισούται με την Α, (από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΒ' και ΑΓΓ') και ΒΒ'/ΓΓ'=ΑΒ/ΑΓ.
Επομένως ΡΚ/ΝΚ=ΡΜ/ΝΛ και σχηματίζουν ίσες γωνίες, επομένως τα τρίγωνα ΚΡΜ και ΚΝΛ είναι όμοια. Έτσι το ΚΛΜ είναι όμοιο προς το ΚΡΝ.
- Συνημμένα
-
- ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ.png (34.93 KiB) Προβλήθηκε 4551 φορές
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
Ανδρέα καλησπέρα και σ' ευχαριστώ για τις διευκρινίσεις. Δεν έχουμε διαφορές στην απόδειξη του γενικού προβλήματος, γιατί το σκεπτικό είναι το ίδιο.
Το μόνο ίσως που χρειάζεται τεκμηρίωση σ' αυτά που γράφεις, είναι το γιατί τα τρίγωνα , έχουν ίσες γωνίες.
Ας δούμε τη λύση αναλυτικά.
Έστω τα τρία δοσμένα όμοια τρίγωνα όπως ορίζεται στην εκφώνηση, συσχετισμένα έτσι ώστε το τρίγωνο που ορίζεται από τις κορυφές τους να είναι όμοιο προς αυτά, με ίσες τις αντίστοιχες γωνίες με κοινή κορυφή, και έστω τα μέσα των αντιστοίχως.
Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν και
και άρα έχουμε και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, όπου και άρα
Έστω τα μέσα αντιστοίχως των αντιστοίχως και σύμφωνα με το σχετικό Λήμμα που αποδείχτηκε στα προηγούμενα, ισχύει ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα δοσμένα καί το και άρα έχουμε
Έστω το σημείο , όπου μεσοπαράλληλες αντιστοίχως στα τρίγωνα .
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο
και άρα έχουμε
Από , και συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια
και άρα έχουμε ότι και
Από συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι όμοιο προς το τρίγωνο και άρα όμοιο προς τα δοσμένα όμοια τρίγωνα και η πρόταση έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Το μόνο ίσως που χρειάζεται τεκμηρίωση σ' αυτά που γράφεις, είναι το γιατί τα τρίγωνα , έχουν ίσες γωνίες.
Ας δούμε τη λύση αναλυτικά.
Έστω τα τρία δοσμένα όμοια τρίγωνα όπως ορίζεται στην εκφώνηση, συσχετισμένα έτσι ώστε το τρίγωνο που ορίζεται από τις κορυφές τους να είναι όμοιο προς αυτά, με ίσες τις αντίστοιχες γωνίες με κοινή κορυφή, και έστω τα μέσα των αντιστοίχως.
Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν και
και άρα έχουμε και
Από προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, όπου και άρα
Έστω τα μέσα αντιστοίχως των αντιστοίχως και σύμφωνα με το σχετικό Λήμμα που αποδείχτηκε στα προηγούμενα, ισχύει ότι το τρίγωνο είναι όμοιο με τα δοσμένα καί το και άρα έχουμε
Έστω το σημείο , όπου μεσοπαράλληλες αντιστοίχως στα τρίγωνα .
Από συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο
και άρα έχουμε
Από , και συμπεραίνεται ότι τα τρίγωνα είναι όμοια
και άρα έχουμε ότι και
Από συμπεραίνεται ότι το τρίγωνο είναι όμοιο προς το τρίγωνο και άρα όμοιο προς τα δοσμένα όμοια τρίγωνα και η πρόταση έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- Συνημμένα
-
- Ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα - Γενίκευση, Θεώρημα Clifford-Cayley - Απόδειξη από τον Ανδρέα Βαρβεράκη.
- f=22_t=14109(f).PNG (42.19 KiB) Προβλήθηκε 4489 φορές
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: Γεωμετρία Α' Γενικού Λυκείου
vittasko έγραψε:Ανδρέα, πολύ ωραίο.
Ήμουνα σίγουρος ότι το πρόβλημα δεν αληθεύει για όμοια ισοσκελή τρίγωνα και να που εμφανίζεται η γενίκευσή του για τυχόντα όμοια τρίγωνα.
Με προβληματίζει όμως το πως πρέπει να συνδυάζονται οι κορυφές του κεντρικού τριγώνου με αυτές των περιφερειακών. Ισχύει το αποτέλεσμα σε οποιοδήποτε σχήμα προκύπτει ; Θα το κοιτάξω με προσοχή στον υπολογιστή και περιμένω με ενδιαφέρον περισσότερες λεπτομέρειες.
Επίσης, ας μας δώσει κάποιος ( αν έχει υπόψη του ), βιβλιογραφικές αναφορές σχετικές με τα όσα συζητάμε εδώ ( προτάσεις - αποδείξεις ).
Καλή σου μέρα, Κώστας Βήττας.
Παρέμβαση 1.
Αγαπητοί φίλοι,
απορροφημένος αυτόν τον καιρό, με άλλα θέματα προφανώς Γεωμετρίας, δεν είχα την ευκαιρία να μπω στο mathematica και έχασα την ζηλευτή συζήτηση που είχατε για το ωραίο θέμα που έχει προτείνει ο φίλος ο Στάθης (Κούτρας).
Τούτο μου το έκανε γνωστό στο τηλέφωνο, ο πολύ καλός μου φίλος ο Κώστας ( Βήττας) (γεια σου Κώστα).
Επειδή το θέμα αυτό, με έχει απασχολήσει αρκετά παλιότερα (1998-2004) και επειδή μας προτρέπει ο Κώστας να ασχοληθούμε με αυτό, όπως φαίνεται παραπάνω, γι’ αυτό θα ασχοληθώ τώρα και εγώ, έστω και καθυστερημένα.
Καταρχήν θα ήθελα να ρωτήσω τον φίλο το Στάθη να μας ειπεί, αν θέλει φυσικά, ποια είναι η προέλευση της Άσκησης που μας έχει δώσει. Τούτο με ενδιαφέρει προσωπικά, καθώς μέχρι τώρα πίστευα ότι εγώ την είχα πρωτοεπινοήσει το 1998, την πρωτοδημοσίευσα το 2001 με το Τεύχος 5 του βιβλίου μου Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας[§ 5θ(115), ενώ το 2004 την επαναδημοσίευσα στο Περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, Τεύχος 3, σελίδα 141.
Ας σημειωθεί ότι για την Πρόταση αυτή δεν αναφέρω ένα μόνο ζητούμενο αλλά και πολλά άλλα, όπως πχ ότι:
«και τα μέσα Κ', Λ', Μ' των διαγώνιων ΒΔ, ΗΕ, ΓΖ, αντίστοιχα, του εξάγωνου ΒΓΕΔΖΗ, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου (προφανώς χρησιμοποιώ το σχήμα του Στάθη), ότι αν Θ, Ι, Ν, είναι και τα μέσα των ΒΓ, ΕΔ, ΖΗ, αντίστοιχα, τότε είναι και ΘΛ∩ΙΜ∩ΝΚ≡Ο, ΘΛ'∩ΙΜ'∩ΝΚ'≡Ο', ΚΚ'∩ΛΛ'∩ΜΜ'≡Ρ, τα τρίγωνα ΒΕΖ, ΓΔΗ είναι ίσα, κτλ. Δηλαδή τελικά η Πρόταση του φίλου Στάθη διαμορφώνεται ως εξής:
Πρόταση 1 (Σχήμα του φίλου Στάθη, κατάλληλα συμπληρωμένο).
5θ(115). «Δίνονται τρία συνεπίπεδα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΕΔ, ΑΖΗ, με κοινή κορυφή την Α και σε τυχαία θέση. Αν Θ, Κ, Ι, Λ, Ν, Μ, Κ', Λ', Μ', είναι τα μέσα των πλευρών και διαγώνιων ΒΓ, ΓΕ, ΕΔ, ΔΖ, ΖΗ, ΗΒ, ΒΔ, ΕΗ, ΖΓ, αντίστοιχα του εξάγωνου ΒΓΕΔΖΗ, τότε να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΚΛΜ, Κ'Λ'Μ', είναι ισόπλευρα, τα δίδυμα τρίγωνα ΒΕΖ, ΓΔΗ, είναι ίσα, οι διάμεσοι του καθενός από τα τρία εξάγωνα ΒΓΕΔΖΗ, ΒΓΖΗΕΔ, ΓΕΗΒΔΖ, συντρέχουν κατά εξάγωνο, κτλ.».
Μετά τα παραπάνω,
παρακαλώ και προκαλώ τους ενδιαφερόμενους φίλους να ασχοληθούν και να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις για τα νέα ζητούμενα της παραπάνω Πρότασης 1.
Απειλώ!!!, ότι θα επανέλθω με νεότερη παρέμβασή μου.
Φιλικά,
Νίκος Κυριαζής.
τελευταία επεξεργασία από ΝΙΚΟΣ σε Κυρ Μαρ 27, 2011 8:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες