Διάταξη τιμών πολυωνύμου

#1

Έστω το πολυώνυμο P(x)

για το οποίο ισχύει $\displaystyle{P(P(x))=x^4-8x^2+12}$ . Να διατάξετε τις τιμές $\displaystyle{P(\sqrt{3}), P(-3), P(1), P(-\sqrt{2})}$ .

Μια λύση είναι να βρεθεί το πολυώνυμο. Υπάρχει άραγε άλλη λύση;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 04, 2018 12:32 pm
Έστω το πολυώνυμο για το οποίο ισχύει $\displaystyle{P(P(x))=x^4-8x^2+12}$ . Να διατάξετε τις τιμές $\displaystyle{P(\sqrt{3}), P(-3), P(1), P(-\sqrt{2})}$ .

Μια λύση είναι να βρεθεί το πολυώνυμο. Υπάρχει άραγε άλλη λύση;

Αν

ο βαθμός του

, τότε πρέπει n^2=4

, δηλαδή

.

Έστω

, με $a\ne 0$ .

Τότε είναι a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c=x^4-8x^2+12

.

Ο συντελεστής του x^3

στο πρώτο μέλος είναι 2a^2b

, ενώ στο δεύτερο είναι

.

Άρα αφού $a\ne 0$ , έπεται πως b=0

(1).

Ταυτόχρονα ο συντελεστής του x^4

στο πρώτο μέλος είναι a^3

, ενώ στο δεύτερο μέλος είναι

. Άρα

(2).

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το

είναι άρτια συνάρτηση και αύξουσα για x>0

.

Επομένως έχουμε πως P(-3)=P(3)

και $P(-\sqrt{2})=P(\sqrt{2})$ .

Είναι λοιπόν $P(3)>P(\sqrt{3})>P(\sqrt{2})>P(1)$ , δηλαδή $P(-3)>P(\sqrt{3})>P(-\sqrt{2})>P(1)$ .

Διάταξη τιμών πολυωνύμου

Διάταξη τιμών πολυωνύμου

Re: Διάταξη τιμών πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση