Άρρητη ανίσωση

KARKAR · #1

I) Λύστε τις ανισώσεις : $\sqrt{2x-1}<x-2$ και : $\sqrt{x-2}<2x-1$ .

II) Υπάρχει περίπτωση οι ανισώσεις : $\sqrt{(a+1)x-a}<ax-(a+1)$

και : $\sqrt{ax-(a+1)}<(a+1)x-a$ , να έχουν τις ίδιες λύσεις ;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας . ( Θεωρήστε ότι : a>0

)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Υποψιάζομαι ότι ο Θανάσης ζητά κάτι κομψότερο και με λιγότερες πράξεις.

1) Η ανίσωση $\displaystyle \sqrt {2x - 1} < x - 2$ (1) έχει νόημα όταν $\displaystyle x \ge \frac{1}{2}$ .

Αν $\displaystyle \frac{1}{2} \le x < 2$ είναι αδύνατη.

Αν $\displaystyle x \ge 2$ τετραγωνίζουμε ισοδύναμα

$\displaystyle \sqrt {2x - 1} < x - 2\; \Leftrightarrow 2x - 1 < {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 > 0 \Leftrightarrow \left( {x < 1\;\; \vee x > 5} \right)$ , οπότε x > 5

.

Η ανίσωση $\displaystyle \sqrt {x - 2} < 2x - 1$ (2) έχει νόημα όταν $\displaystyle x \ge 2$ .

Για $\displaystyle x \ge 2$ τετραγωνίζουμε ισοδύναμα

$\displaystyle \sqrt {x - 2} < 2x - 1\; \Leftrightarrow x - 2 < 4{x^2} - 4x + 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 5x + 3 > 0$ , που ισχύει για κάθε $\displaystyle x \ge 2$ .

2)
Για a > 0

Η ανίσωση $\displaystyle \sqrt {\left( {a + 1} \right)x - a} < ax - \left( {a + 1} \right)$ (3) έχει νόημα όταν $\displaystyle x \ge \frac{a}{{a + 1}}$ .

Αν $\displaystyle x < \frac{{a + 1}}{a}$ η ανίσωση είναι αδύνατη.

Για $\displaystyle x \ge \frac{{a + 1}}{a}$ τετραγωνίζουμε ισοδύναμα

$\displaystyle \sqrt {\left( {a + 1} \right)x - a} < ax - \left( {a + 1} \right) \Leftrightarrow {a^2}{x^2} - \left( {2{a^2} + 3a + 1} \right)x + {a^2} + 3a + 1 > 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x > 1\;\;\;\; \vee \;\;x > \frac{{{a^2} + 3a + 1}}{{{a^2}}}$ .

Επειδή $\displaystyle x \ge \frac{{a + 1}}{a}$ , δεν μπορεί να είναι x < 1

άρα θα είναι $\displaystyle x > \frac{{{a^2} + 3a + 1}}{{{a^2}}}$ .

Επειδή είναι $\displaystyle \frac{{{a^2} + 3a + 1}}{{{a^2}}} > \frac{{a + 1}}{a}$ το διάστημα των λύσεων της (3) είναι το $\displaystyle A = \left( {\frac{{{a^2} + 3a + 1}}{{{a^2}}},\; + \infty } \right)$

Η ανίσωση $\displaystyle \sqrt {ax - \left( {a + 1} \right)} < \left( {a + 1} \right)x - a$ (4) έχει νόημα όταν $\displaystyle x \ge \frac{{a + 1}}{a}$ .

Τότε είναι και $\displaystyle x \ge \frac{a}{{a + 1}} \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x - a \ge 0$ , οπότε τετραγωνίζουμε ισοδύναμα

$\displaystyle \sqrt {ax - \left( {a + 1} \right)} < \left( {a + 1} \right)x - a \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}{x^2} - \left( {2{a^2} + 3a} \right)x + {a^2} + a + 1 > 0$ .

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\displaystyle \Delta = - 7{a^2} - 12a - 4$ .

Αφού a > 0

είναι αρνητική, άρα η ανίσωση ισχύει για κάθε $\displaystyle x \ge \frac{{a + 1}}{a}$ .

Το διάστημα των λύσεων της (4) είναι το $\displaystyle B = \left[ {\frac{{a + 1}}{a},\; + \infty } \right)$ .

Όπως είδαμε είναι $\displaystyle \frac{{{a^2} + 3a + 1}}{{{a^2}}} > \frac{{a + 1}}{a}$ , άρα $\displaystyle B \subset A$ για κάθε a > 0

.

Άρρητη ανίσωση

Άρρητη ανίσωση

Re: Άρρητη ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση