Εξίσωση με ημίτονα

#1

Αν θεωρήσουμε γνωστή τη γωνία $\displaystyle{\theta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ με $\displaystyle{\cos \theta = \frac{3}{4}},$ να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{2\sin 5x = \sin 3x}$

Tolaso J Kos · #2

george visvikis έγραψε:Αν θεωρήσουμε γνωστή τη γωνία $\displaystyle{\theta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ με $\displaystyle{\cos \theta = \frac{3}{4}},$ να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{2\sin 5x = \sin 3x}$

Μία ( ημιτελής ) προσπάθεια ...

Γράφουμε $\displaystyle{\sin 5x = \sin x \left [ 2 \cos 2x + 1 + 2 \cos 4x \right ]}$ και $\displaystyle{\sin 3x = \sin x \left [ 2 \cos 2x + 1 \right ]}$ . Άρα η αρχική εξίσωση γράφεται ως
$\displaystyle{2 \sin x \left [ 2 \cos 2x + 2 \cos 4x + 1 \right ] = \sin x \left [ 2 \cos 2x + 1 \right ] \quad \quad (1)}$ Συνεπώς , γρήγρα γρήγορα έχουμε ότι μία ρίζα της εξίσωσης είναι το $x= \pi n$ . Για $x \neq \pi n$ μπορούμε να απλοποίησουμε τα ημίτονα αφού δε μηδενίζονται. Συνεπώς η (1)

γίνεται:
$\displaystyle{\begin{aligned} 2\left [ 2 \cos 2x + 2 \cos 4x +1 \right ] = 2 \cos 2x +1 &\Leftrightarrow 2 \cos 2x + 1 + 4 \cos 4x =0 \\ &\Leftrightarrow 2\cos 2x + 4 \cos 4x = -1 \end{aligned}}$ Φτάνω μέχρι εδώ , αλλά κόλλησα ... !!

Ορέστης Λιγνός · #3

george visvikis έγραψε:Αν θεωρήσουμε γνωστή τη γωνία $\displaystyle{\theta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ με $\displaystyle{\cos \theta = \frac{3}{4}},$ να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{2\sin 5x = \sin 3x}$

Είναι $2\sin 5x=\sin 3x \Rightarrow -\sin 5x=\sin 5x-\sin 3x$ (1).

Από τον τύπο $\sin A-\sin B=2\sin \dfrac{A-B}{2} \cos \dfrac{A+B}{2}$ , για A=5x, B=3x

παίρνουμε $\sin 5x-\sin 3x =2\sin x \cos 4x$ (2).

Από (1), (2) $- \sin 5x=2\sin x \cos 4x$ (3).

Είναι όμως $\sin 5x=\sin 4x \cos x+\cos 4x \sin x$ και με αντικατάσταση στην (3) προκύπτει $-\sin 4x \cos x-\cos 4x \sin x=2\sin x \cos 4x \Rightarrow -3\cos 4x \sin x=\sin 4x \cos x$ (4).

Θα αποδείξουμε τώρα ότι $\cos x, \cos 4x \neq 0$ .

Ας υποθέσουμε πως $\cos x=0$ , οπότε $\cos 2x=-1$ και $\cos 4x=1$ . Επίσης $\sin x=\pm 1 \neq 0$ .

Η (4) γράφεται $-3\sin x=0 \Rightarrow \sin x= 0$ , άτοπο.

Έτσι, $\cos x \neq 0$ και όμοια $\cos x \neq 0$ .

Διαιρούμε στην (4) με $\cos x, \cos 4x$ και έχουμε την $\tan 4x=-3\tan x$ (5).

Θα υπολογίσουμε το $\tan 4x$ συναρτήσει του $\tan x$ .

Είναι λοιπόν $\tan 4x= \tan (2 \cdot 2x)=\dfrac{2\tan 2x}{1-\tan^2 2x}=\dfrac{4\dfrac{\tan x}{1-\tan^2x}}{1-\dfrac{4\tan^2x}{(1-\tan^2x)^2}}= \ldots= \dfrac{4\tan x(1-\tan^2x)}{\tan^4x-6\tan^2x+1}$ .

Αντικαθιστούμε στην (5) και έχουμε $\dfrac{4\tan x(1-\tan^2x)}{\tan^4x-6\tan^2x+1}=-3\tan x$ (6).

Αν $\tan x=0$ , έχουμε ως λύση την $\boxed{x=k\pi, \, \, k \in \mathbb{Z}}$ .

Αν $\tan x \neq 0$ , $\displaystyle (6) \Rightarrow \dfrac{4-4\tan^2x}{\tan^4x-6\tan^2x+1}=-3 \mathop \Rightarrow \limits^{\tan^2x=t} \ldots \Rightarrow 3t^2-22t+7=0 \Rightarrow t=7$ ή $t=\dfrac{1}{3}$ .

Αν $t=\dfrac{1}{3} \Rightarrow \tan x=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\pm \tan \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \boxed{x=k\pi \pm \dfrac{\pi}{6}, k \in \mathbb{Z}}$ .

Αν $t=7 \Rightarrow \tan x=\pm \sqrt{7}$ .

Ας υποθέσουμε ότι $\tan x=\sqrt{7}$ . Τότε, $\cos 2x=-\dfrac{3}{4}=\cos(-\theta) \Rightarrow 2x=2k\pi \pm (\pi-\theta) \Rightarrow \boxed{x=k\pi \pm \dfrac{\pi-\theta}{2}}$ .

Στην περίπτωση $\tan x=-\sqrt{7}$ έχουμε τις ίδιες λύσεις.

Συνοψίζοντας, οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης είναι $\boxed{x=k\pi, x=k\pi \pm \dfrac{\pi}{6}, x=k\pi \pm \dfrac{\pi-\theta}{2} , k \in \mathbb{Z}}$ .

Διορθώθηκε μετά την υπόδειξη του Γιώργου, τον οποίο ευχαριστώ.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:
$\displaystyle{ 2\cos 2x + 4 \cos 4x = -1}$
...
Φτάνω μέχρι εδώ , αλλά κόλλησα ... !!

Υπόδειξη: Από τον τύπο διπλάσιας γωνίας είναι $\displaystyle{ \cos 4x = 2\cos ^22x -1}$
Η εξίσωση τώρα γίνεται δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{ \cos 2x }$

Ορέστης Λιγνός · #5

Μία άλλη λύση.

Είναι $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$ .

Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε το $\sin 5x$ συναρτήσει του $\sin x$ .

Είναι $\sin 5x=\sin(3x+2x)=\sin 3x \cos 2x+\sin 2x \cos 3x=$

$(3\sin x-4\sin^3x)(1-2\sin^2x)+2\sin x \cos x(4\cos^3x-3\cos x)=$

$(3\sin x-4\sin^3x)(1-2\sin^2x)+2\sin x \cos^2x(4\cos^2x-3)=$

$(3\sin x-4\sin^3x)(1-2\sin^2x)+2\sin x (1-2\sin^2x)(1-4\sin^2x)$

$= \ldots=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x$ .

Αντικαθιστούμε στην αρχική και μετά τις πράξεις έχουμε την $\sin x(32\sin^4x-36\sin^2x+7)=0$ .

Αν $\sin x=0$ , έχουμε ως λύση την $\boxed{x=k\pi, k \in \mathbb{Z}}$ .

Αν $\sin x \neq 0$ έχουμε $32\sin^4x-36\sin^2x+7=0$ και αν $\sin^2x=k$ , $32k^2-36k+7=0 \Rightarrow k=\dfrac{7}{8}$ ή $k=\dfrac{1}{4}$ .

Αν $k=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \sin^2x=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ ή $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ .

Αν $\sin x=\dfrac{1}{2}=\sin \dfrac{\pi}{6}$ έχουμε $x=2k\pi +\dfrac{\pi}{6}$ ή $x=2k\pi+\dfrac{5\pi}{6}$ .

Αν $\sin x=-\dfrac{1}{2}=\sin (-\dfrac{\pi}{6})$ έχουμε $x=2k\pi-\dfrac{\pi}{6}$ ή $x=2k\pi+\dfrac{7\pi}{6}$ .

Συνοψίζοντας τις παραπάνω λύσεις, έχουμε $\boxed{x=k\pi \pm \dfrac{\pi}{6}}$ .

Αν $k=\dfrac{7}{8} \Rightarrow \sin^2x=\dfrac{7}{8} \Rightarrow \cos 2x=1-2\sin^2x=-\dfrac{3}{4} \Rightarrow$

$\cos 2x=\cos(\pi-\theta) \Rightarrow \boxed{x=k\pi \pm \dfrac{\pi-\theta}{2}}$ .

#6

Συνεχίζω από τη σχέση (4)

στην πρώτη ανάρτηση του Ορέστη. Θα χρησιμοποιήσω τους τύπους:

$\boxed{\sin 2a = 2\sin a\cos a}$ και $\boxed{2{\cos ^2}a = 1 + \cos 2a}$

$\displaystyle{\sin 4x\cos x + 3\cos 4x\sin x = 0 \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x\cos 2x + 3\sin x(2{\cos ^2}2x - 1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin x[2(1 + \cos 2x)\cos 2x + 6{\cos ^2}x - 3] = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {8{{\cos }^2}2x + 2\cos 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sin x = 0 \vee \cos 2x = \frac{1}{2} \vee \cos 2x = - \frac{3}{4}},$ απ' όπου παίρνω τις τελικές λύσεις:

$\boxed{x=k\pi, k\in\mathbb{Z}}$ ή $\boxed{x=k\pi\pm\dfrac{5\pi}{6}, k\in\mathbb{Z}}$ ή $\boxed{x=k\pi \pm \dfrac{\pi-\theta}{2}, k\in\mathbb{Z}}$

Εξίσωση με ημίτονα

Εξίσωση με ημίτονα

Re: Εξίσωση με ημίτονα

Re: Εξίσωση με ημίτονα

Re: Εξίσωση με ημίτονα

Re: Εξίσωση με ημίτονα

Re: Εξίσωση με ημίτονα

Μέλη σε σύνδεση