Τριγωνομετρικά ακρότατα

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριγωνομετρικά ακρότατα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Παρ Απρ 21, 2017 9:50 am

Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\cos2x+2 \cos x



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1407
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τριγωνομετρικά ακρότατα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Christos.N » Παρ Απρ 21, 2017 10:24 am

Καλημέρα

\displaystyle{\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \cos 2x + 2\cos x = 2{\cos ^2}x + 2\cos x - 1 = 2{\left( {\cos x + \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{6}{4}\\
\\
0 \le |\cos x + \frac{1}{2}| \le |\cos x| + \frac{1}{2} \le 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow \\
0 \le {\left( {\cos x + \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4} \Rightarrow  - \frac{6}{4} \le 2{\left( {\cos x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{6}{4} \le 3 \Rightarrow  - \frac{3}{4} \le f\left( x \right) \le 3\\
\\
{f_{\min }}\left( x \right) =  - \frac{6}{4} \Rightarrow \cos x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = k\pi  - \frac{{2\pi }}{3}\\
x = k\pi  + \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.,k \in Z\\
{f_{\max }}\left( x \right) = 3 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 2k\pi ,k \in Z
\end{array}}


Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (7.75 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριγωνομετρικά ακρότατα

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Παρ Απρ 21, 2017 10:28 am

KARKAR έγραψε:Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=\cos2x+2 \cos x


\displaystyle{f(x) = \cos 2x + 2\cos x \le 1 + 2 = 3 \Leftrightarrow } \boxed{f(x)\le 3} και επιτυγχάνεται όταν \displaystyle{x = 2k\pi ,k \in Z}

\displaystyle{f(x) = 2{\cos ^2}x + 2\cos x - 1}, που ως δευτεροβάθμιο τριώνυμο παίρνει ελάχιστη τιμή -\dfrac{3}{2} για \displaystyle{\cos x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2k\pi  \pm \frac{{2\pi }}{3}}

Έτσι, \boxed{ - \frac{3}{2} \le f(x) \le 3}

Με πρόλαβε ο Χρήστος, το αφήνω.



Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης