Προοδευτική Άλγεβρα

KARKAR · #1

: Προοδευτική Άλγεβρα.png (4.6 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Οι πλευρές των κόκκινων τετραγώνων βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο , ενώ των πράσινων

σε αριθμητική πρόοδο . Το συνολικό μήκος της πάνω σειράς είναι ίσο με εκείνο της κάτω .

Το συνολικό εμβαδόν των κόκκινων τετραγώνων , είναι ίσο με εκείνο των πράσινων .

Δείξτε ότι όλα αυτά μπορούν να συμβούν και δώστε ένα αριθμητικό παράδειγμα .

#2

KARKAR έγραψε:Προοδευτική Άλγεβρα.pngΟι πλευρές των κόκκινων τετραγώνων βρίσκονται σε γεωμετρική πρόοδο , ενώ των πράσινων

σε αριθμητική πρόοδο . Το συνολικό μήκος της πάνω σειράς είναι ίσο με εκείνο της κάτω .

Το συνολικό εμβαδόν των κόκκινων τετραγώνων , είναι ίσο με εκείνο των πράσινων .

Δείξτε ότι όλα αυτά μπορούν να συμβούν και δώστε ένα αριθμητικό παράδειγμα .

Η πάνω και η κάτω σειρά δεν διαφέρουν σε τίποτα. Οπότε από την υπόθεση έχουμε τις εξισώσεις:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 7a = 3b + 3\omega \\ 21{a^2} = 3{b^2} + 6b\omega + 5{\omega ^2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 49{a^2} = 9{b^2} + 18b\omega + 9{\omega ^2}\\ 21{a^2} = 3{b^2} + 6b\omega + 5{\omega ^2} \end{array} \right.}$

Πολλαπλασιάζω τη δεύτερη εξίσωση με

και αφαιρώ την πρώτη: $\boxed{7{a^2} = 3{\omega ^2}}$ οπότε η δεύτερη εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{3{b^2} + 6b\omega - 4{\omega ^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{b > 0} }$ $\boxed{b = \frac{\omega }{3}\left( {\sqrt {21} - 3} \right)}$

Αν για παράδειγμα $\displaystyle{\omega = \sqrt {21} }$ , τότε η κόκκινη σειρά των τετραγώνων έχει πλευρές 3, 6, 12

και η πράσινη έχει πλευρές $7-\sqrt {21}, 7, 7+\sqrt {21}$ (Συνολικό μήκος

και συνολικό εμβαδόν 189

για την κάθε σειρά τετραγώνων).

Προοδευτική Άλγεβρα

Προοδευτική Άλγεβρα

Re: Προοδευτική Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση