Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Τρί Μάιος 28, 2013 11:48 am

Δίνεται πολυώνυμο τρίτου βαθμού P(x) , για το οποίο ισχύει:
(x-\pi )P(\sigma \upsilon \nu x)-2xP(\eta \mu x)=x-2\pi , για κάθε x\epsilon R
α) Να βρείτε τις τιμές P(0) και P(1)
β) Να βρείτε το υπόλοιπο \upsilon (x) της διαίρεσης του P(x) με το x^2-x
γ) Να λύσετε την ανίσωση
\frac{3x^3-14x^2+13x+6}{2\upsilon (x)}>0
δ) Δίνεται το (Σ)
\left\{\begin{matrix}
\eta \mu (3\pi +\vartheta)x + \sigma \upsilon \nu (14\pi -\vartheta )\psi =1 \\ 
\eta \mu (\frac{9\pi}{2}-\vartheta )x-\eta \mu (\vartheta -\pi )\psi =1
\end{matrix}\right.}
i) Nα αποδείξετε ότι το (Σ) έχει μοναδική λύση
(x,\psi )=(\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta  , \sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ) ,\theta \epsilon R
ii) Να λύσετε την εξίσωση
x\cdot \psi +P(1)+4P(0)=7\sigma \upsilon \nu \theta
ε) Να λύσετε την ανίσωση log(log(x^2-(10P(1)-1)x+100))<0
στ) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx+2 , x>0
και οι αριθμοί \alpha ,\beta ,\gamma >0 με \alpha ^{\alpha}\cdot \beta ^{\beta}\cdot \gamma ^{\gamma}=e^{2013}
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
A=f(\alpha )+f\beta )+f\gamma )-e^{-3ln(P(0)}


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Ηλίας Θ. » Τρί Μάιος 28, 2013 3:51 pm

α) Θέτοντας στην δοθείσα όπου:
x το 0 θα πάρουμε - \pi P(1)=-2\pi\Rightarrow P(1)=2
ενώ για x=\dfrac{\pi}{2} θα πάρουμε -\dfrac{\pi}{2}P(0)-\pi P(1)=-2\pi\Rightarrow P(0)=-1
β) Ισχύει P(x)=(x^2-x)\pi (x)+\upsilon (x), \upsilon =0 ή βαθμ\upsilon (x)<2 ( όπου \pi (x) το πηλίκο της διαίρεσης ).
Έτσι το υπόλοιπο αν έχει βαθμό θα είναι το πολύ πρώτου. Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση, \upsilon (x)= \alpha x+\beta
Αντικαθιστώντας στην ταυτότητα διαίρεσης έχουμε: P(x)=(x^2-x)\pi (x)+\alpha x+\beta. Αν σε αυτήν, θέσουμε διαδοχικά όπου x
τις τιμές 0 και 1 θα πάρουμε τις εξισώσεις \left\{\begin{matrix}
P(0)=\beta
\\ P(1)=\alpha+\beta  \end{matrix}\right. Άρα \alpha=3,\; \beta=-1. Έτσι το υπόλοιπο είναι \upsilon (x)=3x-1


Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Ηλίας Θ. » Τρί Μάιος 28, 2013 4:15 pm

δ) Ισχύουν \eta \mu (3\pi+\theta)=\eta \mu(2\pi+\pi+\theta)=\eta \mu(\pi +\theta)=-\eta \mu \theta
και \sigma \upsilon \nu(14 \pi - \theta)=\sigma \upsilon \nu(-\theta)=\sigma \upsilon \nu \theta
i) Για το σύστημα ισχύει:D=\begin{vmatrix}
-\eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ 
 \sigma \upsilon \nu \theta & \eta \mu \theta
\end{vmatrix} =-\eta \mu^{2} \theta -\sigma \upsilon \nu^{2} \theta=-1≠0, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.
Κι επειδή D_x=\begin{vmatrix}
1 & \sigma \upsilon \nu \theta \\ 
 1 & \eta \mu \theta
\end{vmatrix}=\eta \mu \theta -\sigma \upsilon \nu \theta,\;\;\; D_y=\begin{vmatrix}
-\eta \mu \theta & 1 \\ 
 \sigma \upsilon \nu \theta & 1
\end{vmatrix}=-\eta \mu \theta - \sigma \upsilon \nu \theta,
η λύση είναι (x,y)=\left( \dfrac{D_x}{D}, \dfrac{D_y}{D}\right)=(-\eta \mu \theta+\sigma \upsilon \nu \theta, \eta \mu \theta+\sigma \upsilon \nu \theta)


Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από thanasis kopadis » Τρί Μάιος 28, 2013 5:05 pm

Aγαπητέ συνάδελφε. Ευχαριστώ για τη λύση και το μήνυμα σας. Η αλήθεια είναι ότι όταν την έλυνα εγώ στο α) ερώτημα πήρα x=0 , οπότε μου έβγαλε P(1)=2 και μετά όπου x=\pi και μου έδωσε P(0)=\frac{1}{2}.. Σε αυτές τις τιμές στηρίχθηκα και έφτιαξα τα υπόλοιπα ερωτήματα. Μάλλον κάποιο πρόβλημα έχει η αρχική σχέση, αν και την έχω πάρει από βιβλίο. Θα την ξανακοιτάξω...


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από thanasis kopadis » Τρί Μάιος 28, 2013 10:24 pm

Παραλλαγή της αρχικής υπόθεσης: Δίνεται πολυώνυμο P(x) , τρίτου βαθμού, το οποίο αν διαιρεθεί με το x-1 αφήνει υπόλοιπο 2,
ενώ αν διαιρεθεί με το x αφήνει υπόλοιπο \frac{1}{2}.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική άσκηση (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από thanasis kopadis » Τρί Μάιος 28, 2013 11:32 pm

α) P(1)=2 καιP(0)=\frac{1}{2}

β) Αφού τοP(x) είναι τρίτου βαθμού το υπόλοιπο θα είναι της μορφής ax+b.
Άρα P(x)=(x^2-x)\pi (x)+ax+b
Για x=1 , P(1)=a+b=2 Για x=0 , P(0)=b=\frac{1}{2}
Οπότε a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2} , δηλαδή \upsilon (x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}

γ)\frac{3x^3-14x^2+13x+6}{3x+1}>0\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-3)(3x+1)}{3x+1}>0\Leftrightarrow (x-2)(x-3)>0
Και λόγω του περιορισμού x\neq -\frac{1}{3} , λύση της ανίσωσης η: x<-\frac{1}{3} ή -\frac{1}{3}<x<2 ή x>3

δ) i) Λυμένο από το συνάδελφο Ηλία Θ.

ii) x\cdot \psi +4=7\sigma \upsilon \nu \theta \Leftrightarrow
 \sigma \upsilon \nu ^2\vartheta -\eta \mu ^2\vartheta -7\sigma \upsilon \nu \theta +4=0\Leftrightarrow 
2\sigma \upsilon \nu ^2\vartheta -7\sigma \upsilon \nu \theta +3=0
Άρα \sigma \upsilon \nu \theta =3 , αδύνατη ή \sigma \upsilon \nu \theta =\frac{1}{2}\Leftrightarrow 
\sigma \upsilon \nu \theta=\sigma \upsilon \nu\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{3}

ε)log(log(x^2-19x+100))<0
Θα πρέπει x^2-19x+100>0 ισχύει για κάθε x\epsilon R , αφού D<0 και log(x^2-19x+100)>0\Leftrightarrow 
x^2-19x+100>1\Leftrightarrow x^2-19x+99>0 ισχύει για κάθε x\epsilon R , αφού D<0

log(log(x^2-19x+100))<0\Leftrightarrow log(x^2-19x+100)<1\Leftrightarrow 
x^2-19x+100<10 \Leftrightarrow x^2-19x+90<0\Leftrightarrow 9<x<10

στ) f(a)=ln\alpha^\alpha +2 , f(\beta)=ln\beta ^\beta +2 , f(\gamma )=ln\gamma ^\gamma +2
A=ln\alpha^\alpha+ln\beta ^\beta+ln\gamma ^\gamma+6-e^{ln8}=
ln\alpha^\alpha\beta ^\beta\gamma ^\gamma+6-8=lne^{2013}-2=2011


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης