Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από thanasis kopadis » Σάβ Μάιος 25, 2013 3:04 pm

Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=x^{3}-(3+log\kappa )x^2+(5-log\lambda)x-log4 και
Q(x)=x^3+(log^2\kappa -log\kappa^6+3)x^2 +(-log^2\lambda -log\frac{\lambda }{10^6})x-log4 , με \kappa ,\lambda \succ 0.
α) Αν τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) είναι ίσα μεταξύ τους, να υπολογίσετε τους αριθμούς \kappa ,\lambda
β) Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το (x-1)(x-2)
i) Nα δείξετε ότι \kappa =2 , \lambda =125
ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0
iii) Aν \alpha η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης P(x)=0, να λύσετε την ανίσωση 3^x+3^{1-x}\leq 10^{2\alpha}
γ) Να λύσετε την εξίσωση sin^{2}x=10^{Q(0)}
δ) Να λύσετε το σύστημα
{\left.\begin{matrix}
P(1)\chi+\psi=0  \\ 
{P(2)\chi+2\psi=0\right\}
\end{matrix}\right\}
για τις διάφορες τιμές των \kappa ,\lambda \succ 0.
τελευταία επεξεργασία από thanasis kopadis σε Σάβ Μάιος 25, 2013 8:43 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από thanasis kopadis » Σάβ Μάιος 25, 2013 8:14 pm

Mικρή αλλαγή στο πολυώνυμο Q(x), γιατί δεν έβγαινε το α) ερώτημα.


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»
Άβαταρ μέλους
thanasis kopadis
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Παρ Μαρ 22, 2013 9:51 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς - Αττική
Επικοινωνία:

Re: Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από thanasis kopadis » Κυρ Μάιος 26, 2013 5:32 pm

α)
Για να είναι ίσα τα πολυώνυμα θα πρέπει:
1=1 (1)
											
-log\kappa -3=log^2\kappa -log\kappa ^6+3 (2)

5-log\lambda =-log^2\lambda -log\frac{\lambda }{10^6} (3)

-log4=-log4 (4)

(1),(4) ισχύουν

(2)\Leftrightarrow log^2\kappa -5log\kappa +6=0

Θέτω log\kappa =a , οπότε έχουμε:

a^2-5a+6=0\Leftrightarrow a=2,a=3

Για a=2\Leftrightarrow log\kappa =2\Leftrightarrow \kappa =100

Για a=3\Leftrightarrow log\kappa =3\Leftrightarrow \kappa =1000

(3)\Leftrightarrow 5-log\lambda =-log^2\lambda -log\lambda +6\Leftrightarrow log^2\lambda =1\Leftrightarrow log\lambda =1 , log\lambda =-1\Leftrightarrow \lambda =10 , \lambda =\frac{1}{10}

Άρα λύσεις τα ζεύγη (\kappa ,\lambda ) = (100,1) , (100,\frac{1}{10}) , (1000,1) , (1000,\frac{1}{10})

βi)
Θα πρέπει P(1)=0 και P(2)=0

P(1)=0\Leftrightarrow 1-3-log\kappa +5-log\lambda -log4=0
\Leftrightarrow -log\kappa -log\lambda =-3+log4 (1)

P(2)=0\Leftrightarrow 8-12-4log\kappa +10-2log\lambda -log4=0
\Leftrightarrow 4log\kappa +2log\lambda =6-log4\Leftrightarrow 2log\kappa +log\lambda=3-log2 (2)

(1)+(2)\Leftrightarrow log\kappa =log2\Leftrightarrow \kappa =2

Οπότε από (1) για \kappa=2 έχουμε:

-log2-log\lambda =-3+log4\Leftrightarrow log\lambda =3-log8\Leftrightarrow log\lambda =log\frac{1000}{8}
\Leftrightarrow log\lambda =log125\Leftrightarrow \lambda =125

βii)
P(x)=x^3-(3+log2)x^2+(5-log125)x-log4

Aφου το 1 ρίζα του πολυωνύμου με σχ.Horner προκύπτει ότι:

P(x)=0\Leftrightarrow (x-1)[x^2-(2+log2)x+2log2]=0
\Leftrightarrow x=1 , x^2-(2+log2)x+2log2=0

Το τριώνυμο έχει D=(2-log2)^2 και ρίζες x_{1}=2 , x_{2}=log2

βiii)
Το \alpha =log2 είναι η μικρότερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης.

Οπότε
3^{x}+3^{1-x}\geq 10^{log4}\Leftrightarrow 3^x+3\frac{1}{3^x}\geq 4
\Leftrightarrow 3^{2x}+3\geq 4\cdot  3^x\Leftrightarrow 
3^{2x}-4\cdot 3^x+3\geq 0.

Θέτω 3^x=b , άρα b^2-4b+3\geq 0 \Leftrightarrow b\leq 1 ή b\geq 3\Leftrightarrow 
3^x\leq 1 ή 3^x\geq 3\Leftrightarrow x\leq 0 ή x\geq 1

γ)
sin^2x=10^{log\frac{1}{4}}\Leftrightarrow sin^2x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow sinx=\pm \frac{1}{2}

sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow x=2\kappa \pi +\frac{\pi }{6}, x=2\kappa \pi +\frac{5\pi }{6}

sinx=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin(-\frac{\pi }{6})\Leftrightarrow x=2\kappa \pi -\frac{\pi }{6} , x=2\kappa \pi +\frac{7\pi }{6}

δ)
P(1)=log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda }

P(2)=2log\frac{500}{\kappa ^2\lambda }

D=\begin{vmatrix}
log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda } & 1 \\ 
2log\frac{500}{\kappa ^2\lambda } & 2 
\end{vmatrix}
=2(log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda }-log\frac{500}{\kappa ^2\lambda })=
2log\frac{\kappa }{2}

Το (Σ) είναι ομογενές, οπότε:

Αν D\neq 0\Leftrightarrow log\frac{\kappa }{2}\neq log1\Leftrightarrow \kappa\neq2

και \lambda >0 , τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση τη μηδενική.

Αν D=0\Leftrightarrow \kappa =2 και \lambda >0 , τότε το (Σ) έχει άπειρες λύσεις (και τη μηδενική)


«Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»
«Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»
«Οι ροζ ή οι άσπροι;»

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης