Ανισότητα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1938
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.

Λέξεις Κλειδιά:
kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Πέμ Ιαν 11, 2018 9:27 pm

xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.
MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1609
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 11, 2018 10:37 pm

kostasrmd έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:27 pm
xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.
MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.

Προφανώς και είναι λάθος.
Υπόθεσες ότι ισχύει αυτό που θέλεις να αποδείξεις και με συνεπαγωγές κατέληξες σε κάτι που ισχύει.
Θα ήταν εντάξει αν είχαμε ισοδυναμίες.
Δεν πειράζει.Τα λάθη είναι για τους ανθρώπους.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9933
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 11, 2018 10:43 pm

kostasrmd έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 9:27 pm
MG-MB<AG-AB=>MG-AG<MB-AB \overset{MB-AB<AM}{\rightarrow} MG-AG<AM που ισχύει λόγω τριγωνικής ανισότητας. Κάπου λογικά έχω λάθος διότι δεν έκανα χρήση της διχοτόμου.
Πράγματικά, υπάρχουν λογικά σφάλματα. Πρώτα απ' όλα κάνεις την ανάποδη πορεία. Δεύτερον και ουσιαστικότερο, αν θέλεουμε να αποδείξουμε a<b και αποδείξουμε πρώτα ότι είναι αληθής η a<c για κάποιο c πιο μεγάλο από το b, ΔΕΝ μπορούμε να συμπεράνουμε ότι a<b

Με απλά λόγια, αν το αποδεικτέο είναι a<10 αλλά δείξουμε ότι a<100, δεν κάναμε τίποτα.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1166
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιαν 11, 2018 11:41 pm

xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.
anisotita.png
anisotita.png (25.12 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές
Φέρνουμε κάθετη από το B στην AD, που τέμνει την AC στο K.

Τότε, εύκολα είναι AB=AK, \ MB=MKAM είναι μεσοκάθετος της BK).

Το K είναι εσωτερικό της AC , αφού AK=AB<AC

Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο \vartriangle MCK δίνει CK>MC-MK \Rightarrow AC-AK>MC-MB \Rightarrow AC-AB>MC-MB ό.έ.δ.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1609
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 12, 2018 10:32 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 11:41 pm
xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.
anisotita.png

Φέρνουμε κάθετη από το B στην AD, που τέμνει την AC στο K.

Τότε, εύκολα είναι AB=AK, \ MB=MKAM είναι μεσοκάθετος της BK).

Το K είναι εσωτερικό της AC , αφού AK=AB<AC

Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο \vartriangle MCK δίνει CK>MC-MK \Rightarrow AC-AK>MC-MB \Rightarrow AC-AB>MC-MB ό.έ.δ.

Δύο παρατηρήσεις.

1)Αν το M είναι σημείο της ευθείας που ορίζουν τα A,\Delta

διαφορετικό του A τότε \left | MB-M\Gamma \right |< A\Gamma -AB

2)Το αποτέλεσμα ισχύει στην Απόλυτη Γεωμετρία.(δηλαδή δεν έχει σχέση με το αξίωμα των παραλλήλων)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6302
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανισότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 12, 2018 10:33 am

xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιαν 11, 2018 12:34 pm
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma.Φέρνουμε την διχοτόμο A\Delta και παίρνουμε σημείο M εσωτερικό του A\Delta . Να δείξετε ότι M\Gamma - MB< A\Gamma - AB.
Ανισότητα.Τ.png
Ανισότητα.Τ.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Επί των AC, MC θεωρώ σημεία E, H αντίστοιχα, ώστε AE=AB και MH=MB. Εύκολα παίρνω ME=MH

οπότε η γωνία M\widehat HE είναι οξεία, άρα η C\widehat HE αμβλεία και συνεπώς \displaystyle CH < CE \Leftrightarrow \boxed{MC-MB<AC-AB}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες