παραλληλογραμμο

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

παραλληλογραμμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Δευ Δεκ 11, 2017 1:19 pm


Δίδεται περιφέρεια και μια σταθερά διάμετρος αυτής AOB(O κέντρο της περιφέρειας).Με κέντρο το A γράφουμε άλλη περιφέρεια η ο οποία τέμνει την πρώτη στα σημεία G, D.Συνδέουμε το τυχαίο σημείο M της δεύτερης περιφέρειας με τα G,D και οι MG, MD τέμνουν την πρώτη περιφέρεια στα P, K.Να δειχθεί ότι το MKBP είναι παραλληλόγραμμο.

Θα ήθελα την γνώμη σας ως προς την δυσκολία αυτής της άσκησης.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5475
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: παραλληλογραμμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm

Παραλληλόγραμμο.png
Παραλληλόγραμμο.png (43.29 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές
Το τρίγωνο PMD είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6323
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: παραλληλογραμμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 11, 2017 5:17 pm

Παραλληλόγραμμο.Κ..png
Παραλληλόγραμμο.Κ..png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα AGPB, ADKB είναι \boxed{G\widehat PB = D\widehat KB}, ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB. Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. \displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα \displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega  + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK

Αφού λοιπόν το MKBP έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.


Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9378
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: παραλληλογραμμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm

PARALLELODRAMM.png
PARALLELODRAMM.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Όχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : \widehat{PMK}=\widehat{PBK} και \hat{P}=\hat{K} ( οι χορδές GB,DB ίσες )


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3065
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: παραλληλογραμμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm

Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...
paralelogram.png
paralelogram.png (41.4 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: παραλληλογραμμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Δευ Δεκ 11, 2017 7:46 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm
Παραλληλόγραμμο.png

Το τρίγωνο PMD είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .
Σ'ευχαριστώ


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: παραλληλογραμμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Δευ Δεκ 11, 2017 7:47 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 5:17 pm
Παραλληλόγραμμο.Κ..png
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα AGPB, ADKB είναι \boxed{G\widehat PB = D\widehat KB}, ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB. Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. \displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα \displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega  + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK

Αφού λοιπόν το MKBP έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.


Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.
Σ'ευχαριστώ πολυ


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: παραλληλογραμμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Δευ Δεκ 11, 2017 7:48 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm
PARALLELODRAMM.pngΌχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : \widehat{PMK}=\widehat{PBK} και \hat{P}=\hat{K} ( οι χορδές GB,DB ίσες )
Σ'ευχαριστώ πολυ


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: παραλληλογραμμο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Δευ Δεκ 11, 2017 8:25 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm
Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...paralelogram.png
Σ'ευχαριστώ πολυ!!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5475
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: παραλληλογραμμο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 11, 2017 10:27 pm

παραλληλόγραμμο_11_12_17.png
παραλληλόγραμμο_11_12_17.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές
Στο \vartriangle PMD η PA είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν N το μέσο της χορδής MD η AN είναι μεσοκάθετος στο MD.

Το \vartriangle PMD είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το A θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά MK//PB ως κάθετες στην PN και το εγγεγραμμένο τραπέζιο PDKB είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες \widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή MP//KB.

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο KGM.


kostasrmd
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2016 1:02 pm

Re: παραλληλογραμμο

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostasrmd » Τρί Δεκ 12, 2017 1:58 pm

Doloros έγραψε:
Δευ Δεκ 11, 2017 10:27 pm
παραλληλόγραμμο_11_12_17.png

Στο \vartriangle PMD η PA είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν N το μέσο της χορδής MD η AN είναι μεσοκάθετος στο MD.

Το \vartriangle PMD είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το A θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά MK//PB ως κάθετες στην PN και το εγγεγραμμένο τραπέζιο PDKB είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες \widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή MP//KB.

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο KGM.
σ'ευχαριστω για την επιπλεον ωραια λυση, να'σαι καλα


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης