Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

#1

: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , AB=BD

Βρείτε τη γωνία

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο.png (19.34 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Φέρνουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ACE

εξωτερικά του τριγώνου.

Έχουμε πως $\widehat{BAE}=90^o+60^o=150^o$ . Επομένως AE//BD

.

Όμως ταυτόχρονα έχουμε πως BD=AC=AE

.

Έπεται λοιπόν πως το BAED

είναι παραλληλόγραμμο και επειδή BA=BD

έχουμε πως είναι και ρόμβος. Άρα $\widehat{AED}=30^o$ και CE=AE=ED

. Επομένως το

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ADC

.

Συνεπώς έχουμε ότι η $\widehat{ACD}$ είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη της επίκεντρης $\widehat{AED}$ , άρα είναι $\widehat{ACD}=15^o$ . Επομένως $x=\widehat{ACB}-\widehat{ACD}=45^o-15^o=30^o$ .

#3

Doloros έγραψε:Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο.png

Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ,

Βρείτε τη γωνία .

: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ABE

όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύκλος (B, BA)

διέρχεται από τα σημεία D, E

και είναι $\displaystyle{\theta = \frac{{D\widehat BA}}{2} = {15^0} = E\widehat AD \Leftrightarrow AD = DE}$

Αλλά τα τρίγωνα ADE, ADC

είναι προφανώς ίσα, οπότε $\displaystyle{A\widehat CD = \theta={15^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=30^0}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Μια λύση εκτός φακέλου...

Έχουμε $\widehat{BDA}=\widehat{DAB}=(180^o-30^o)/2=75^o$
Από τριγωνομετρική CEVA ισχύει ότι:

$\dfrac{\sin \widehat{DBA}}{\sin \widehat{DBC}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{DCB}}{\sin \widehat{DCA}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{DAC}}{\sin \widehat{DAB}} =1 \Leftrightarrow$ \displaystyle{\dfrac{\sin 30^o}{\sin (45^o - 30^o)} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)} \cdot \dfrac{\sin (90^o-75^o)}{\sin 75^o} =1 \Leftrightarrow} $\dfrac{\sin 30^o}{\cos 15^o} \cdot \dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)} =1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)} =\dfrac{\cos 15^o}{\sin 30^o} \Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)} =\dfrac{\cos 15^o}{2 \sin 15^o cos 15^o} \Leftrightarrow$ $\dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)} =\dfrac{\sin 30^o}{\sin 15^o }$

Η τελευταία έχει μοναδική λύση x=30^o

στο διάστημα που μας ενδιαφέρει, δηλαδή στο $(0, \dfrac{\pi}{4} )$ , λόγω της μονοτονίας της συνάρτησης
$f(x) = \dfrac{\sin x}{\sin (45^o -x)}$

nikkru · #5

Doloros έγραψε:Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο.png

Στο ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος ,

Βρείτε τη γωνία .

: Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο.png (14.6 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Συμπληρώνουμε το τετράγωνο ABEC

. Το τρίγωνο BDE

είναι ισόπλευρο ( $BD=BE=BA, \widehat{DBE}=60^o$ )

και τα ισοσκελή τρίγωνα CDE,ADB

είναι ίσα ( $CE=AB=DE=DB,\widehat{CED}=\widehat{ABD}=30^o$ )

οπότε, $\widehat{x}=75^o-45^o=30^o$ .

Φανης Θεοφανιδης · #6

: 11.png (16.62 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Φέρνω τη $BE\perp AD$ .
Οπότε $\angle CBD=\angle DBE=\angle EBA=15^{0}$ .
Επίσης θεωρώ το συμμετρικό του

ως προς την

, το οποίο ονομάζω

.
Φέρνω και τα ευθύγραμμα τμήματα DP, AP, BP

.
Είναι

(λόγω συμμετρίας) και επειδή AB=AC

έπεται ότι
$AB=AP=AC\Rightarrow A$ το περίκεντρο του τριγώνου BCP

.
Όμως $CP\parallel BE\Rightarrow \angle BCP=\angle CBE\Rightarrow$
$\Rightarrow \angle BCP=30^{0}\Rightarrow \angle BAP=60^{0}\Rightarrow$
$\Rightarrow BAP$ ισόπλευρο $\Rightarrow \angle PBC=15^{0}$ .
Συνεπώς $BP=BA\Rightarrow BP=BD\Rightarrow$
$\Rightarrow BC$ μεσοκάθετος του $DP\Rightarrow \chi =30^{0}$ .

Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Re: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Re: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Re: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Re: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Re: Γωνία σε ισοσκελές ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση