Παρεγγεγραμμένος και περίκυκλος τριγώνου.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 61.png (9.22 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του που αντιστοιχεί στη
πλευρά $A\Gamma$ , του οποίου το κέντρο ονομάζω

. Ο περίκυκλος του τριγώνου $B\Gamma E$
τέμνει τη $\Gamma A$ στο σημείο $\Delta$ . Δείξτε ότι $EB=E\Delta$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:61.png

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του που αντιστοιχεί στη
πλευρά $A\Gamma$ , του οποίου το κέντρο ονομάζω . Ο περίκυκλος του τριγώνου $B\Gamma E$
τέμνει τη $\Gamma A$ στο σημείο $\Delta$ . Δείξτε ότι $EB=E\Delta$ .

Καλημέρα Φάνη!

: Κύκλοι-Φάνης.png (20.65 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

Έστω

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα. Τα ορθογώνια τρίγωνα HBE, ZED

είναι ίσα ( EH=EZ

και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες λόγω της διχοτόμου

και του εγγεγραμμένου BCED

) και το ζητούμενο έπεται.

#3

Έστω

το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( εφαρμογή

κεφ.

σχ. βιβλίου)

Και $\widehat {{a_2}} = \widehat D$ ( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) θα είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat D \Leftrightarrow AI//DB$ . Αλλά η

ευθεία

είναι μεσικάθετος στην

, όπου

τα σημεία επαφής του

παρεγγεγραμμένου κύκλου με τις $CA,\,\,BA$ αντίστοιχα. Αφού δε και HT//AI

, ως

κάθετες στην

, η ευθεία αυτή θα είναι κάθετος στο μέσο

της χορδής

: Φανης_φαίνεται_ καλή.png (46.31 KiB) Προβλήθηκε 678 φορές

και θα διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (E,B,C)

.

Προφανώς κάθε σημείο της

θα ισαπέχει των B,D

. Δείτε ακόμα ότι η ευθεία

είναι η ευθεία του Simson

στο $\vartriangle DBC$ .

Παρεγγεγραμμένος και περίκυκλος τριγώνου.

Παρεγγεγραμμένος και περίκυκλος τριγώνου.

Re: Παρεγγεγραμμένος και περίκυκλος τριγώνου.

Re: Παρεγγεγραμμένος και περίκυκλος τριγώνου.

Μέλη σε σύνδεση