Κύκλος και τμήμα

Ιστοσελίδα · #1

: circle.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 906 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, τα έγχρωμα τόξα είναι ίσα και η

διάμετρος. Να υπολογιστεί το τμήμα AE = x

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε:circle.pngΣτο παραπάνω σχήμα, τα έγχρωμα τόξα είναι ίσα και η διάμετρος. Να υπολογιστεί το τμήμα

Γεια σου Μιχάλη!
Μία λύση εκτός φακέλου.

: Κύκλος και τμήμα.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 887 φορές

Θέτω

Είναι: $\displaystyle{\cos \theta = \frac{x}{y},{y^2} = x(x + 2),B{C^2} = 2(2 + x)}$ Εφαρμόζω το νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο DBC.

$\displaystyle{B{C^2} = 64 + {y^2} - 16y \cdot \frac{x}{y}}$ και από τις προηγούμενες σχέσεις καταλήγω στην εξίσωση x^2-16x+60=0,

απ' όπου παίρνω την

δεκτή ρίζα $\boxed{x=10}$ (Η άλλη ρίζα x=6

απορρίπτεται γιατί $\displaystyle{2R > 8 \Leftrightarrow x > 6}$ )

edit: Άρση απόκρυψης και λύση.

#3

: Κύκλος και τμήμα_1.png (32.43 KiB) Προβλήθηκε 883 φορές

Το τρίγωνο CAD

είναι ισοσκελές αφού σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν

ίσες χορδές. Αν δε

το κέντρο του κύκλου η

είναι η διχοτόμος της γωνίας της

κορυφής του

. Φέρνω την εφαπτομένη του κύκλου στο

που τέμνει την ευθεία

στο

. Όλες οι κόκκινες γωνίες στο σχήμα είναι ίσες ( εύκολο) άρα και

$\widehat {ACE} = \widehat {DCT} \Rightarrow \vartriangle ACE = \vartriangle DCT\,\,(\Gamma - \Pi - \Gamma )$ μα αυτό σημαίνει ότι και το τρίγωνο

DCT

ορθογώνιο στο

οπότε $BT = NE = 2 \Rightarrow DT = 10 \Rightarrow \boxed{AE = 10}$ .

Εναλλακτικά δείτε κι αυτό .

: Κύκλος και τμήμα_2.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Ορέστης Λιγνός · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
circle.png
Στο παραπάνω σχήμα, τα έγχρωμα τόξα είναι ίσα και η διάμετρος. Να υπολογιστεί το τμήμα

Καλημέρα Μιχάλη!

Φέρνουμε την διχοτόμο

της γωνίας $\widehat{ABD}$ , και έστω KD=y, KA=z

.

Έστω επίσης $\widehat{CAB}=\phi, \widehat{CBA}=90^\circ-\phi$ (1).

Τα τόξα $\overset{\frown}{ AC}$ και $\overset{\frown}{CD}$ είναι ίσα, άρα $\widehat{CAD}=\widehat{CBA}=90^\circ-\phi$ (2).

Όμως, $90^\circ-\phi=\widehat{CAD}=\widehat{CAB}+\widehat{BAD} =\phi+\widehat{BAD}=90^\circ+\phi-\widehat{ABD} \Rightarrow$

$\widehat{ABD}=2\phi \Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{BKD}=\phi$ (3).

Επίσης, (μετρική σχέση) $CE=\sqrt{2x}$ (4).

Από (1), (3), τα $\vartriangle CAE, \vartriangle BKD$ είναι όμοια, οπότε $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{BD}{KD} \mathop \Rightarrow \limits^{(4)} \dfrac{x}{\sqrt{2x}}=\dfrac{8}{y} \Rightarrow y=\dfrac{8\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ (5).

Από Θ. Διχοτόμου και Π.Θ. , $\dfrac{y}{z}=\dfrac{8}{x}, \, y+z=\sqrt{x^2-64}$ , και εύκολα $y=\dfrac{8\sqrt{(x+2)^2-64}}{x+10}$ (6).

Από (5), (6), $y=\dfrac{8\sqrt{2}}{\sqrt{x}}=\dfrac{8\sqrt{(x+2)^2-64}}{x+10} \Rightarrow \ldots \Rightarrow (x+2)(x-10)(x+10)=0 \mathop \Rightarrow \limits^{x>0} \boxed{x=10}$ .

Υ.Γ. Με πρόλαβαν οι ''Usein Bolt'' του mathematica, Γιώργος και Νίκος !

#5

: Κύκλος και τμήμα_3.png (32.63 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Το τρίγωνο CAD

είναι ισοσκελές αφού σε ίσα τόξα του ίδιου κύκλου αντιστοιχούν

ίσες χορδές. Αν δε

το κέντρο του κύκλου η

είναι η διχοτόμος της γωνίας της

κορυφής του

. Η διάμετρος

τέμνει την

στο μέσο της

άρα

$MO// = DB \Rightarrow MO = 4$ . Το τετράπλευρο DBCN

είναι ισοσκελές τραπέζιο , οπότε

$DN = BC \Rightarrow \vartriangle ABC = \vartriangle CND \Rightarrow MN = EB = 2 \Rightarrow R = 6 \Rightarrow AE = 10$ .

sakis1963 · #6

: Κύκλος και τμήμα - Νάνος.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές

Χαιρετώ την παρέα!

C', D'

τα συμμετρικά των C, D

ως προς την

. Εύκολα το AC'CD'

ισοσκελές τραπέζιο με AD'=CC'=2y

.

Από τεμνόμενες χορδές AB, CC'

έχουμε

.... (1) και

από Π.Θ. στο AD'B

έχουμε

.... (2)

από (1), (2) προκύπτει η x^2-4x-60=0

που έχει δεκτή ρίζα x=10

(η άλλη είναι αρνητική)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Μιχάλης Νάννος έγραψε:circle.pngΣτο παραπάνω σχήμα, τα έγχρωμα τόξα είναι ίσα και η διάμετρος. Να υπολογιστεί το τμήμα

Είναι $\displaystyle{CA = CD}$ και ο κύκλος $\displaystyle{\left( {C,CA} \right)}$ τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{Z}$

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και $\displaystyle{2\theta = \angle DCB}$ (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης) $\displaystyle{ \Rightarrow CB}$ διχοτόμος της $\displaystyle{\angle DCZ}$

Έτσι $\displaystyle{D,Z}$ συμμετρικά ως προς $\displaystyle{CB \Rightarrow BZ = BD = 8}$ .Τότε $\displaystyle{\boxed{x = EZ = 2 + 8 = 10}}$

: κύκλος και τμήμα.png (52.35 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Κύκλος και τμήμα

Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Re: Κύκλος και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση