Απόλυτη..τιμή..

maiksoul · #1

Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

#2

Από υπόθεση a(4a+3b+2c)>0

οπότε $a\neq 0.$ Διαιρώντας με a^2

βρίσκουμε $2\dfrac{c}{a}+3\dfrac{b}{a}+4>0.$

Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta 2x_1x_2-3(x_1+x_2)+4>0

οπότε

οπότε οι αριθμοί 2x_1-3,2x_2-3

είναι ομόσημοι.

Αν είναι και οι δύο θετικοί τότε $x_1>\dfrac{3}{2}>1$ οπότε η πρώτη παρένθεση της παράστασης μηδενίζεται.

Αν είναι και οι δύο αρνητικοί τότε $x_2<\dfrac{3}{2}<2$ οπότε η δεύτερη παρένθεση της παράστασης μηδενίζεται.

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

Έγινε διόρθωση σύμφωνα με την υπόδειξη του Ratio.

Ratio · #3

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Από υπόθεση οπότε $a\neq 0.$ Διαιρώντας με βρίσκουμε $2\dfrac{c}{a}+3\dfrac{b}{a}+4>0.$

Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta οπότε οπότε οι αριθμοί είναι ομόσημοι.

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

Σύμφωνα με τους τύπους Vieta , $4+3\frac{b}{a}+2\frac{c}{a}=4+3(-x_{1}-x_{2})+2x_{1}x_{2}$

maiksoul · #4

Παύλο σε ευχαριστώ για την ωραία λύση !
Σκέφτομαι πως θα είχε ενδιαφέρον ,αν κάποιος έχει να παραθέσει μία διαφορετική λύση , από αυτήν την υποδειγματική ,που ήδη έχει δοθεί .
Εγώ έχω μία κατά νου .Θα περιμένω λίγο ακόμα και σύντομα θα τη δώσω .

Σταμ. Γλάρος · #5

maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}<2$ ισχύει $(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (-1-1)(-1+1) = 0$

β) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}>2$ έχουμε :
$(1)\Leftrightarrow a^2\left ( 4+ 3\cdot \dfrac{b}{a} +2\dfrac{c}{a}\right )>0\Leftrightarrow$ $4-3(x_1 +x_2)+2x_1\cdot x_2 >0$ $\Leftrightarrow$ 4-3x_1 +x_2(2x_1-3)>0

, ΑΤΟΠΟ
διότι : $x_{2}>2\Rightarrow -3x_{2}<-6\Rightarrow 4-3x_{2}<-2<0$
και $x_{1}<1\Rightarrow 2x_{1}<2<3\Rightarrow 2x_{1}-3<0$ .

γ) Για $x_{1}>1$ και $x_{2}>1$ έχουμε :
$(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (1-1)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) =0$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

maiksoul · #6

Γεια σου Σταμάτη , ευχαριστώ για το χρόνο σου! Ίσως και να κάνω λάθος, νομίζω ότι στη δεύτερη περίπτωση υπάρχει τυπογραφικό λάθος που έχει οδηγήσει στο άτοπο. Αν κάνω λάθος ζητάω συγνώμη( είμαι και κάπως ζαλισμένος!) .Δες το καλύτερα και εσύ . Καλό μεσημέρι !

Σταμ. Γλάρος · #7

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}<2$ ισχύει $(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (-1-1)(-1+1) = 0$

β) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}>2$ έχουμε :
Μιχάλη έχεις δίκιο. Σε ευχαριστώ πολύ . Η δεύτερη περίπτωση διαγράφεται .
Θα το ξανακοιτάξω...
Επανέρχομαι ...
$(1)\Leftrightarrow a^2\left (4+3\cdot \dfrac{b}{a}+ 2\cdot \dfrac{c}{a} \right )>0 \Leftrightarrow 4-3(x_1+x_2)+2x_1x_2>0$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 4+2x_1x_2>3x_1+3x_2$ (1)

Επίσης ισχύει $x_{1}-1<0$ και $x_{2}-2>0$ .
Άρα $(x_{1}-1)(x_{2}-2)<0$ $\Leftrightarrow$ $x_{1} \cdot x_{2} -2x_{1} -x_{2}+2<0$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $4+2x_{1} \cdot x_{2} <4x_{1} +2x_{2}$ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει : $3x_1+3x_2< 4+2x_{1} \cdot x_{2} <4x_{1} +2x_{2}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $3x_1+3x_2< 4x_{1} +2x_{2}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $x_2< x_{1}$ ΑΤΟΠΟ.
Ελπίζω να είναι σωστό τώρα ....

γ) Για $x_{1}>1$ και $x_{2}>1$ έχουμε :
$(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (1-1)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) =0$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

maiksoul · #8

maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

Μια ακόμη λύση είναι η εξής:
$(1)\Leftrightarrow a(4a+2b+c+b+c)> 0\Leftrightarrow a(f(2)+a+b+c-a)> 0$ $\Leftrightarrow a(f(2)+f(1)-a)> 0$ $\Rightarrow a\neq 0$
Ακολούθως προκύπτει $af(1)+af(2)> a^{2}> 0..(2)$
Επομένως
$(2)\Rightarrow a\cdot f(1)> 0\;\;(I)..\vee ..a\cdot f(2)> 0..(II)$ δηλαδή είναι ομόσημοι: οι αριθμοί f(1),a

ή οι

.
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε
$(I)\Rightarrow 1< x_{1} ..\vee ..x_{2}< 1< 2$ επομένως αντίστοιχα η 1η ή η 2η παρένθεση της ζητούμενης παράστασης είναι

Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε
$(II)\Rightarrow 2< x_{1}< x_{2 }...\vee ...x_{2}< 2$ επομένως αντίστοιχα η 1η ή η 2η παρένθεση της ζητούμενης παράστασης είναι επίσης

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

Απόλυτη..τιμή..

Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Μέλη σε σύνδεση