Δρομείς Μαθηματικοί

spiros filippas · #1

O μαραθώνιος του Springfield περιλαμβάνει 2 τύπους εδάφους: χώμα και άσφαλτο. Μεταξύ των συμμετεχόντων υπάρχουν 10 μαθηματικοί
που τρέχουν με σταθερή ταχύτητα η οποία όμως εξαρτάται από τον τύπο του εδάφους (υπάρχουν επομένως 20 διαφορετικές ταχύτητες που περιγράφουν την κίνηση των).
Οι μαθηματικοί, χρονομετρούμενοι από ένα τσιπ στη πλάτη τους , ξεκινάνε από την αφετηρία σε στιγμές διαφορετικές. Σε διαφορετικά σημεία της διαδρομής
έχουν τοποθετηθεί 2500 ακίνητοι θεατές. Μετά τη λήξη της κούρσας παρατηρούμε ότι δεν έγινε καμία προσπέραση μεταξύ των 10 δρομέων στο ύψος κάποιου θεατή.
Να αποδειχθεί ότι 3 θεατές είδαν τους 10 μαθηματικούς να περνάνε στην ίδια ακριβώς σειρά.

#2

Επαναφορά!

#3

Την θυμάμαι από όταν μπήκε. Είχα αμελήσει τότε να γράψω την λύση μου. Είναι όντως δύσκολη άσκηση και σωστά μεταφέρθηκε σε αυτόν τον φάκελο.

Η άσκηση γίνεται εύκολη από την στιγμή που κάνουμε την πιο κάτω παρατήρηση:

Έστω δυο δρομείς και έστω

η διαφορά των αποστάσεων από τις οποίες ξεκίνησαν,

η διαφορά των ταχυτήτων τους στο χώμα, και

η διαφορά των ταχυτήτων τους στην άσφαλτο.

Ας πάρουμε την συγκεκριμένη χρονική στιγμή όπου έτρεξαν x_0

μέτρα στο χώμα και y_0

στην άσφαλτο. Τότε το ποιος βρίσκεται μπροστά (δηλαδή έκανε πρώτος αυτά τα x_0+y_0

μέτρα) δηλώνεται από την ευθεία A + Bx + Cy = 0

. Αν το σημείο (x_0,y_0)

είναι πάνω στην ευθεία τότε βρίσκονται στην ίδια ακριβώς θέση, αν είναι από την μια μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο ένας και αν είναι από την άλλη μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο άλλος.

Έχουμε συνολικά $\binom{10}{2} = 45$ διαφορετικά ζεύγη δρομέων άρα και

διαφορετικές ευθείες. Αυτές οι 45 ευθείες δημιουργούν στο επίπεδο το πολύ $\displaystyle{ \binom{45}{0} + \binom{45}{1} + \binom{45}{2} = 1036}$ διαφορετικά χωρία. (Γνωστό αποτέλεσμα, δείτε εδώ.) Άρα έχουμε το πολύ 1036

διαφορετικές διατάξεις των

δρομέων οι οποίες μπορούν να εμφανιστούν.

Αφού έχουμε 2500

άτομα, από την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον τρία άτομα έχουν δει ακριβώς την ίδια διάταξη.

Τσιαλας Νικολαος · #4

Demetres έγραψε:Την θυμάμαι από όταν μπήκε. Είχα αμελήσει τότε να γράψω την λύση μου. Είναι όντως δύσκολη άσκηση και σωστά μεταφέρθηκε σε αυτόν τον φάκελο.

Η άσκηση γίνεται εύκολη από την στιγμή που κάνουμε την πιο κάτω παρατήρηση:

Έστω δυο δρομείς και έστω η διαφορά των αποστάσεων από τις οποίες ξεκίνησαν, η διαφορά των ταχυτήτων τους στο χώμα, και η διαφορά των ταχυτήτων τους στην άσφαλτο.

Ας πάρουμε την συγκεκριμένη χρονική στιγμή όπου έτρεξαν μέτρα στο χώμα και στην άσφαλτο. Τότε το ποιος βρίσκεται μπροστά (δηλαδή έκανε πρώτος αυτά τα μέτρα) δηλώνεται από την ευθεία . Αν το σημείο είναι πάνω στην ευθεία τότε βρίσκονται στην ίδια ακριβώς θέση, αν είναι από την μια μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο ένας και αν είναι από την άλλη μεριά της ευθείας τότε προηγείται ο άλλος.

Έχουμε συνολικά $\binom{10}{2} = 45$ διαφορετικά ζεύγη δρομέων άρα και διαφορετικές ευθείες. Αυτές οι 45 ευθείες δημιουργούν στο επίπεδο το πολύ $\displaystyle{ \binom{45}{0} + \binom{45}{1} + \binom{45}{2} = 1036}$ διαφορετικά χωρία. (Γνωστό αποτέλεσμα, δείτε εδώ.) Άρα έχουμε το πολύ διαφορετικές διατάξεις των δρομέων οι οποίες μπορούν να εμφανιστούν.

Αφού έχουμε άτομα, από την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον τρία άτομα έχουν δει ακριβώς την ίδια διάταξη.

όπως πάντα τρομερός!!!

#5

Να το δυσκολέψουμε κι άλλο;

Ας κάνουμε τους θεατές 2750

. Δείξτε ότι υπάρχουν τέσσερις οι οποίοι είδαν τους δρομείς να περνούν με την ίδια σειρά.

Δρομείς Μαθηματικοί

Δρομείς Μαθηματικοί

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

Re: Δρομείς Μαθηματικοί

Μέλη σε σύνδεση