Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)

Datis-Kalali · #1

Αν

ειναι ακεραιοι, ετσι ωστε $N= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ ειναι επισης ακεπαραιος αριθμος. Να αποδειξειτε οτι $a\cdot b\cdot c$ ειναι τελειος κυβος.

Δατης Καλαλη Γ'γυμνασιου, Κυπρος

dement · #2

Το δεδομένο γράφεται ως $abc \mid a^2 c + b^2 a + c^2 b$ . Έστω

πρώτος και έστω v_p(n)

η δύναμη του

στην παραγοντοποίηση του

.

Παίρνουμε δύο περιπτώσεις λόγω μη συμμετρικής κυκλικότητας:

1. Έστω $v_p(a) \geqslant v_p(b) \geqslant v_p(c)$ . Προφανώς $v_p(abc) \leqslant v_p (a^2 c)$ και $v_p(abc) \leqslant v_p(b^2 a)$ .

Άρα πρέπει να ισχύει $v_p(a) + v_p(b) + v_p(c) = v_p(abc) \leqslant v_p(c^2 b) = 2v_p (c) + v_p(b) \implies v_p(a) \leqslant v_p(c)$ . Οπότε v_p(a) = v_p(b) = v_p(c)

.

2. Έστω $v_p(b) \geqslant v_p(a) \geqslant v_p(c)$ . Προφανώς $v_p(abc) \leqslant v_p(b^2 a)$ .

Αν δεν ισχύει v_p(b) = v_p(a) = v_p(c)

τότε θα έχουμε είτε v_p(abc) > v_p (a^2 c)

είτε

. Για να ισχύει λοιπόν $v_p(abc) \leqslant v_p (a^2 c + b^2 a + c^2 b)$ θα πρέπει να έχουμε $\displaystyle v_p(a^2 c) = v_p(c^2 b) \implies \displaystyle v_p (a) = \frac{v_p(b) + v_p(c)}{2}$ .

Και στις δύο περιπτώσεις το v_p(a) + v_p(b) + v_p(c)

είναι πολλαπλάσιο του

για κάθε

και το

είναι τέλειος κύβος.

Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)

Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)

Re: Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)

Μέλη σε σύνδεση