Ίσα τμήματα
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Ίσα τμήματα
Θεωρούμε τρίγωνο και τη διάμεσο .
Φέρνουμε τα ύψη και . Η κάθετη στο στην τέμνει τις στα .
Να δείξετε ότι .
Η άσκηση είναι δική μου κατασκευή.
Φέρνουμε τα ύψη και . Η κάθετη στο στην τέμνει τις στα .
Να δείξετε ότι .
Η άσκηση είναι δική μου κατασκευή.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ίσα τμήματα
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Θεωρούμε τρίγωνο και τη διάμεσο .
Φέρνουμε τα ύψη και . Η κάθετη στο στην τέμνει τις στα .
Να δείξετε ότι .
isa tmimata.png
Η άσκηση είναι δική μου κατασκευή.
Πολύ ωραία άσκηση . έχω υπ όψιν στοιχειώδη λύση.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ίσα τμήματα
Έστω το συμμετρικό του ως προς το μέσο της . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιές του διχοτομούνται).Ορέστης Λιγνός έγραψε:Θεωρούμε τρίγωνο και τη διάμεσο .Φέρνουμε τα ύψη και . Η κάθετη στο στην τέμνει τις στα .Να δείξετε ότι .
Η άσκηση είναι δική μου κατασκευή.
Αρα ομοκυκλικά σε κύκλο διαμέτρου και ομοίως τα ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου .
Οι εν λόγω κύκλοι είναι ίσοι αφού οι εγγεγραμμένες τους γωνίες στις ίσες χορδές τους ( παραλληλόγραμμο) είναι ίσες ,
άρα και το ζητούμενο έχει αποδειθχεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Ίσα τμήματα
Το είναι ορθόκεντρο στο και άρα .
Αλλιώς
Ας είναι το σημείο τομής των . Το είναι ορθόκεντρο στο και
αφού το μέσο του και από το γνωστό,αυτό λήμμα, .
Re: Ίσα τμήματα
Ας είναι το σημείο τομής των και το σημείο τομής των . Φέρνω και το . Το είναι ορθόκεντρο του .
Από το ορθικό ( ή και με άλλους τρόπους) προκύπτει ότι η δέσμη :
είναι αρμονική . Αν δε γράψω το ημικύκλιο διαμέτρου και η
το κόψει στα η τετράδα είναι αρμονική άρα
και συνεπώς θα κόψει τις ευθείες έτσι ώστε
.
Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να δουλέψουμε και με πολικές .
Από το ορθικό ( ή και με άλλους τρόπους) προκύπτει ότι η δέσμη :
είναι αρμονική . Αν δε γράψω το ημικύκλιο διαμέτρου και η
το κόψει στα η τετράδα είναι αρμονική άρα
και συνεπώς θα κόψει τις ευθείες έτσι ώστε
.
Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε να δουλέψουμε και με πολικές .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ίσα τμήματα
Ευχαριστώ πολύ τον Στάθη και τον Νίκο για τις λύσεις τους.
Όπως με ενημέρωσε ο Νίκος, η άσκηση βρίσκεται και στο βιβλίο του Μπάμπη Στεργίου, ''Γεωμετρία για Διαγωνισμούς 2'', χωρίς να το ξέρω .
Την άσκηση την κατασκεύασα με γνώμονα τα αρμονικά συζυγή και τον ριζικό άξονα. Δίνω λοιπόν την λύση μου.
Θα αποδείξουμε πρώτα το εξής Λήμμα :
Λήμμα
Έστω τρίγωνο και τα ύψη του προς τις πλευρές αντίστοιχα.
Έστω και το ορθόκεντρο του .
Αν επίσης το μέσο του , να δείξετε ότι .
Απόδειξη
Θεωρούμε τους κύκλους και .
Τα κέντρα τους είναι το μέσο της και το αντίστοιχα. Άρα, η διάκεντρος τους είναι η ευθεία .
Είναι , οπότε το ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Επίσης, το είναι εγγράψιμο, γιατί τα ανήκουν στον κύκλο του Euler.
Άρα, , οπότε και το ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Επομένως, ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων (η ) είναι κάθετη στην διάκεντρο (την ) , δηλαδή , και το λήμμα αποδείχτηκε.
Επιστρέφουμε στην άσκηση.
Έστω , το ορθόκεντρο του , και .
Από το Λήμμα, .
Από τα όμοια έχουμε (1).
Από τα όμοια έχουμε (2).
Διαιρούμε κατά μέλη τις (1), (2) και έχουμε .
Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι , η ισοδύναμα ότι .
Είναι όμως , οπότε αρκεί .
Αφού , το είναι εγγράψιμο, οπότε .
Έτσι, (1).
Έστω .
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι και αφού το είναι το μέσο της , έχουμε από τη σχέση Newton.
Αφού επίσης (από το εγγράψιμο ) είναι , είναι
(2).
Από (1), (2) έπεται το ζητούμενο.
Η λύση ολοκληρώθηκε.
Όπως με ενημέρωσε ο Νίκος, η άσκηση βρίσκεται και στο βιβλίο του Μπάμπη Στεργίου, ''Γεωμετρία για Διαγωνισμούς 2'', χωρίς να το ξέρω .
Την άσκηση την κατασκεύασα με γνώμονα τα αρμονικά συζυγή και τον ριζικό άξονα. Δίνω λοιπόν την λύση μου.
Θα αποδείξουμε πρώτα το εξής Λήμμα :
Λήμμα
Έστω τρίγωνο και τα ύψη του προς τις πλευρές αντίστοιχα.
Έστω και το ορθόκεντρο του .
Αν επίσης το μέσο του , να δείξετε ότι .
Απόδειξη
Θεωρούμε τους κύκλους και .
Τα κέντρα τους είναι το μέσο της και το αντίστοιχα. Άρα, η διάκεντρος τους είναι η ευθεία .
Είναι , οπότε το ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Επίσης, το είναι εγγράψιμο, γιατί τα ανήκουν στον κύκλο του Euler.
Άρα, , οπότε και το ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Επομένως, ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων (η ) είναι κάθετη στην διάκεντρο (την ) , δηλαδή , και το λήμμα αποδείχτηκε.
Επιστρέφουμε στην άσκηση.
Έστω , το ορθόκεντρο του , και .
Από το Λήμμα, .
Από τα όμοια έχουμε (1).
Από τα όμοια έχουμε (2).
Διαιρούμε κατά μέλη τις (1), (2) και έχουμε .
Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι , η ισοδύναμα ότι .
Είναι όμως , οπότε αρκεί .
Αφού , το είναι εγγράψιμο, οπότε .
Έτσι, (1).
Έστω .
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι και αφού το είναι το μέσο της , έχουμε από τη σχέση Newton.
Αφού επίσης (από το εγγράψιμο ) είναι , είναι
(2).
Από (1), (2) έπεται το ζητούμενο.
Η λύση ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Ίσα τμήματα
Ας δούμε μία προσέγγιση με Πολικές ( γνωστή από την βιβλιογραφία ), που αφορά στην γενικευμένη εκφώνηση του προβλήματος.
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από τυχόντα κύκλο με χορδή την πλευρά του . Οι ευθείες , τέμνουν την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το κέντρο του κύκλου , στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι . Έστω τα σημεία και .
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και ισχύει ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική.
Η δέσμη αυτή τέμνεται από την ευθεία και από συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από τυχόντα κύκλο με χορδή την πλευρά του . Οι ευθείες , τέμνουν την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το κέντρο του κύκλου , στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι . Έστω τα σημεία και .
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και ισχύει ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική.
Η δέσμη αυτή τέμνεται από την ευθεία και από συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ίσα τμήματα
vittasko έγραψε:Ας δούμε μία προσέγγιση με Πολικές ( γνωστή από την βιβλιογραφία ), που αφορά στην γενικευμένη εκφώνηση του προβλήματος.
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία τομής των πλευρών του αντιστοίχως, από τυχόντα κύκλο με χορδή την πλευρά του . Οι ευθείες , τέμνουν την δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , όπου είναι το κέντρο του κύκλου , στα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι .
f=185_t=59612.png
Έστω τα σημεία και .
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και ισχύει ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η δέσμη είναι αρμονική.
Η δέσμη αυτή τέμνεται από την ευθεία και από συμπεραίνεται ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης