Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Προκύπτει ἄμεσα ἀπὸ τὸν τὺπο τοῦ Bretschneider. Ὑπάρχει στοιχειωδέστερος τρόπος;
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Προκύπτει ἄμεσα ἀπὸ τὸν τὺπο τοῦ Bretschneider. Ὑπάρχει στοιχειωδέστερος τρόπος;
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο
Καλημέρα!Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.
Έστω περιγράψιμο τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές διαγωνίους , εμβαδόν , ημιπερίμετρο και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου . Είναι:
.
Έστω ότι δεν είναι εγγράψιμο. Τότε από την ανισότητα του Πτολεμαίου:
και από την , που είναι άτοπο. Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
ΥΓ. Όταν άρχισα να πληκτρολογώ δεν υπήρχε η ΣΗΜΕΙΩΣΗ (Θα κοιτάξω για στοιχειωδέστερη λύση).
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο
● Νόμος συνημιτόνων:Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν , τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ , δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ εἶναι ἐγγράψιμο.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Προκύπτει ἄμεσα ἀπὸ τὸν τὺπο τοῦ Bretschneider. Ὑπάρχει στοιχειωδέστερος τρόπος;
●
●
Από
και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες