mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 23, 2018 5:06 pm**

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{f(n)}$ τον πλησιέστερο ακέραιο στον αριθμό $\displaystyle{\sqrt[4]{n}.}$

Να υπολογίσετε το άθροισμα

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{k=1}^{1995}\frac{1}{f(k)}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 24, 2018 12:42 pm**

matha έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2018 5:06 pm
Ας ονομάσουμε $\displaystyle{f(n)}$ τον πλησιέστερο ακέραιο στον αριθμό $\displaystyle{\sqrt[4]{n}.}$

Να υπολογίσετε το άθροισμα

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{k=1}^{1995}\frac{1}{f(k)}.}$

Καλές Γιορτές!

$\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{k=1}^{1995}\frac{1}{f(k)}}= \frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+.....\frac{1}{f(1995)}$

Παρατηρούμε ότι $f\left ( 1 \right )=1 ..\kappa \alpha \iota f(1995)=7$
Άρα $1\leq f(k)\leq 7$

$f\left ( k \right )=1$ έχουν οι $1\leq \sqrt[4]{k}< 1,5\Leftrightarrow 1\leq k< 5,0625\Leftrightarrow k=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$

$f\left ( k \right )=2$ έχουν οι $1,5\leq \sqrt[4]{k}< 2,5\Leftrightarrow 5,0625\leq k< 39,0625\Leftrightarrow k=\left \{ 6,.....39 \right \}$

$f\left ( k \right )=3$ έχουν οι $2,5\leq \sqrt[4]{k}< 3,5\Leftrightarrow 39,0625\leq k< 150,0625\Leftrightarrow k=\left \{ 40,41....150 \right \}$

$f\left ( k \right )=4$ έχουν οι $3,5\leq \sqrt[4]{k}< 4,5\Leftrightarrow 150,0625\leq k< 410,0625\Leftrightarrow k=\left \{ 151,152.....410 \right \}$

$f\left ( k \right )=5$ έχουν οι $4,5\leq \sqrt[4]{k}< 5,5\Leftrightarrow 410,0625\leq k< 915,0625\Leftrightarrow k=\left \{ 411,412...915 \right \}$

$f\left ( k \right )=6$ έχουν οι $5,5\leq \sqrt[4]{k}< 6,5\Leftrightarrow 915,0625\leq k< 1785,0625\Leftrightarrow k=\left \{916,917....1785 \right \}$

$f\left ( k \right )=7$ έχουν οι $k=\left \{ 1786...1995 \right \}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{1995}\frac{1}{f(k)}}= \frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+.....\frac{1}{f(1995)}=5\cdot \frac{1}{1}+34\cdot \frac{1}{2}+111\cdot \frac{1}{3}+260\cdot \frac{1}{4} +505\cdot \frac{1}{5}+870\cdot \frac{1}{6}+210\cdot \frac{1}{7}=...5+17+37+65+101+145+30=400\Leftrightarrow S=400$

mathematica.gr

Ένα άθροισμα!

Ένα άθροισμα!

Re: Ένα άθροισμα!