Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
emouroukos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emouroukos » Κυρ Ιαν 07, 2018 1:28 pm

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά!

Ας αποδείξουμε την τελευταία ισότητα (που αποδίδεται στον Hermite):

Αν a \in \mathbb{Z}, τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω, λοιπόν, ότι a \notin \mathbb{Z}, οπότε \displaystyle 0 < \left\{ a \right\} < 1. Τότε, υπάρχει \displaystyle k \in \left\{ {1,2, \ldots ,m - 1} \right\} τέτοιο, ώστε

\displaystyle \left\{ a \right\} + \frac{{k - 1}}{m} < 1 και \displaystyle \left\{ a \right\} + \frac{k}{m} \ge 1,

δηλαδή

\displaystyle \frac{{m - k}}{m} \le \left\{ a \right\} < \frac{{m - k + 1}}{m}.

Τότε, είναι:

\displaystyle \left[ a \right] = \left[ {a + \frac{1}{m}} \right] =  \cdots  = \left[ {a + \frac{{k - 1}}{m}} \right]

και

\displaystyle \left[ {a + \frac{k}{m}} \right] = \left[ {a + \frac{{k + 1}}{m}} \right] =  \cdots  = \left[ {a + \frac{{m - 1}}{m}} \right] = \left[ a \right] + 1,

οπότε

\displaystyle \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} {\left[ {a + \frac{j}{m}} \right]}  = k\left[ a \right] + \left( {m - k} \right)\left( {\left[ a \right] + 1} \right) = m\left[ a \right] + m - k.

Εξάλλου, είναι

\displaystyle m\left[ a \right] + m - k \le m\left[ a \right] + m\left\{ a \right\} = ma < m\left[ a \right] + m - k + 1,

οπότε

\displaystyle \left[ {ma} \right] = m\left[ a \right] + m - k

και η απόδειξη ολοκληρώνεται.


Βαγγέλης Μουρούκος

Erro ergo sum.

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 07, 2018 7:24 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 1:07 pm
Οι παρακάτω έχουν ξαναεμφανιστεί στο φορουμ αλλά τις αναρτώ χάριν πληρότητας.

Άσκηση 7. Δείξτε τις ταυτότητες

\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{2}  \right ]= \left [2a \right ]

\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{3}  \right ]+ \left [a + \frac {2}{3}  \right ]= \left [3a \right ]

και γενικότερα

\displaystyle{ \left [a \right ] + \left [a + \frac {1}{m}  \right ] +...+ \left [a + \frac {m-1}{m}  \right ]= \left [ma \right ] , \, m \in \mathbb N^*
Η λύση που κυκλοφορεί για την τελευταία είναι

Αν

f(x)={ \left [x \right ] + \left [x + \frac {1}{m}  \right ] +...+ \left [x + \frac {m-1}{m}  \right ]- \left [mx \right ]

τότε εύκολα βλέπουμε ότι f(x)=f(x+\frac{1}{m})

οπότε αρκεί να περιοριστούμε στην περίπτωση που 0\leq x< \frac{1}{m}.

Τότε εύκολα βλέπουμε ότι για 0\leq x< \frac{1}{m} είναι f(x)=0

και το συμπέρασμα έπεται άμεσα.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9871
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 07, 2018 11:02 pm

Ας προσθέσω ότι η ταυτότητα στην Άσκηση 7 ονομάζεται ταυτότητα Hermite.

Δεν ξέρω την αρχική απόδειξη αλλά η
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 7:24 pm

Η λύση που κυκλοφορεί για την τελευταία είναι ...
οφείλεται στον Matsuoka, "On a Proof of Hermite's Identity", The American Mathematical Monthly, τόμος 71, έτος  1964, σελίς 10.

Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9871
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιαν 08, 2018 1:06 am

Άσκηση 8. Να αποδειχθεί η ταυτότητα \displaystyle{ \left [  \frac {[x]+m}{n } \right ] =  \left [  \frac {x+m}{n } \right ] }, για \displaystyle{m \in \mathbb Z, \, n \in \mathbb N}

Άσκηση 9. Να αποδειχθεί η ταυτότητα \displaystyle{ \left [  \frac {n}{3 } \right ]+ \left [  \frac {n+2}{6 } \right ] +\left [  \frac {n+4}{6 } \right ]  = \left [  \frac {n}{2 } \right ] + \left [  \frac {n+3}{6} \right ] }


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 08, 2018 10:21 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιαν 08, 2018 1:06 am
Άσκηση 9. Να αποδειχθεί η ταυτότητα \displaystyle{ \left [  \frac {n}{3 } \right ]+ \left [  \frac {n+2}{6 } \right ] +\left [  \frac {n+4}{6 } \right ]  = \left [  \frac {n}{2 } \right ] + \left [  \frac {n+3}{6} \right ] }
Θέτουμε x=\frac{n}{6}
και γίνεται

[2x]+[x+\frac{1}{3}]+[x+\frac{2}{3}]=[3x]+[x+\frac{1}{2}]


Θα δείξουμε την τελευταία που είναι γενικότερη και ισχύει για x\in \mathbb{R}

Από την τελευταία της άσκησης 7 έχουμε

[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x],[x]+[x+\frac{1}{3}]+[x+\frac{2}{3}]=[3x]

Αρα

[2x]+[x+\frac{1}{3}]+[x+\frac{2}{3}]=[x]+[x+\frac{1}{2}]+[x+\frac{1}{3}]+[x+\frac{2}{3}]=[3x]+[x+\frac{1}{2}]


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9871
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 13, 2018 2:51 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιαν 08, 2018 1:06 am
Άσκηση 8. Να αποδειχθεί η ταυτότητα \displaystyle{ \left [  \frac {[x]+m}{n } \right ] =  \left [  \frac {x+m}{n } \right ] }, για \displaystyle{m \in \mathbb Z, \, n \in \mathbb N}


H 8 μένει αναπάντητη.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 612
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 13, 2018 4:01 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιαν 08, 2018 1:06 am
Άσκηση 8. Να αποδειχθεί η ταυτότητα \displaystyle{ \left [  \frac {[x]+m}{n } \right ] =  \left [  \frac {x+m}{n } \right ] }, για \displaystyle{m \in \mathbb Z, \, n \in \mathbb N}
Θα αποδείξουμε αρχικά πως [x+m]=[x]+m.

Έστω a ακέραιος με a=[x]+m. Έχουμε:

[x+m]=[[x]+\{x\}+m]=[[x]+m+\{ x \}]=[a+\{ x \}]=a=[x]+m

Θέλουμε να αποδείξουμε τώρα πως:

\displaystyle{\left [\dfrac{[x]+m}{n} \right ]=\left [ \dfrac{x+m}{n} \right]\Leftrightarrow \left [ \dfrac{[x+m]}{n} \right ]=\left [\dfrac{x+m}{n} \right ]}.

Θέτουμε x+m=y και αρκεί να αποδείξουμε πως:

\displaystyle{\left [\dfrac{[y]}{n} \right ]=\left [\dfrac{y}{n} \right ]\Leftrightarrow \left [\dfrac{[y]}{n} \right ]=\left [\dfrac{[y]+\{y\}}{n} \right ]}.

Αν [y]\leq n-1, τότε θα είναι \left [\dfrac{[y]}{n} \right ]=\left [\dfrac{[y]+\{y\}}{n} \right ]=0.

Έστω [y]\geq n.

Θέτουμε [y]=nr+u, όπου 0\leq u\leq n-1.

Αρκεί να αποδείξουμε πως:

\displaystyle{\left [r+\dfrac{u}{n} \right ]=\left [r+\dfrac{\{y\}+u}{n} \right ]}

Όμως \dfrac{u}{n}<1 και \dfrac{\{y\}+u}{n}<\dfrac{u+1}{n}\leq 1\Leftrightarrow \dfrac{\{y\}+u}{n}<1.

Άρα \displaystyle{r\leq r+\dfrac{u}{n} <r+1} και \displaystyle{r\leq r+\dfrac{\{y\}+u}{n} <r+1}.

Συνεπώς \displaystyle{\left [r+\dfrac{u}{n} \right ]=\left [r+\dfrac{\{y\}+u}{n} \right ]=r} και το ζητούμενο έπεται.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Σάβ Ιαν 13, 2018 8:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
nickthegreek
Δημοσιεύσεις: 396
Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Τοποθεσία: Oxford

Re: Ασκήσεις με ακέραιο μέρος

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickthegreek » Σάβ Ιαν 13, 2018 4:33 pm

Πρόβλημα 10Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} που ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια:

a) Η f είναι γνησίως αύξουσα.
b) f(1)=2
c) f(f(n)) = f(n)+n \hspace{1mm} \forall n \in \mathbb{N}.

Με \mathbb{N} συμβολίζουμε τους θετικούς ακεραίους.

Η άσκηση είναι γνωστή. Όποιος γνωρίζει την πηγή της ας αποφύγει για την ώρα να τη δώσει, ώστε να την προσπαθήσουν ανεπηρέαστα τα μέλη του mathematica.


Νίκος Αθανασίου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης