Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Ας είναι ένας θετικός ακέραιος. Να αποδειχθεί ότι
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Δύσκολη. Θα την γράψω χωρίς κάποιες επίπονες πράξεις:
Έστω το αριστερό μέλος και το δεξί. Είναι και . Για να δείξουμε την ζητούμενη ισότητα
για κάθε αρκεί να δείξουμε ότι τα και, χωριστά, τα , ικανοποιούν την ίδια αναδρομική σχέση δύο όρων.
Την αναδρομική σχέση την ανακαλύπτουμε από τα που είναι ευκολότερα. Με χαρτί, μολύβι και πολύ πρόχειρο θα διαπιστώσουμε
ότι ισχύει
O έλεγχος είναι εύκολος αλλά η δυσκολία είναι στην ανακάλυψή του. Εδώ, από τον ορισμό των έχουμε
όπως θέλαμε.
Για τα από τις ταυτότητες και
εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η
Προσθέτοντας κατά μέλη από έως τηλεσκοπικά θα βρούμε
και άρα
που είναι ίδια με την και με ίδιες αρχικές συνθήκες. Και λοιπά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Γνώριζα την απάντηση και δεν έδωσα λύση μιας και η πληκτρολόγηση είναι εκτενής. Ο πρώτος που απέδειξε αυτή τη ταυτότητα είναι ο Staver ( 1947 ) ο οποίος ορίζοντας παρατήρησε ότι και με βάση αυτό έβγαλε τον αναγωγικό τύπο:
και απέδειξε τη παραπάνω σχέση. Το ο Sury έδωσε απόδειξη της ταυτότητας με τη χρήση της ολοκληρωτικής αναπαράστασης του διωνυμικού συντελεστή,
ενώ νωρίτερα το ο Rocket χρησιμοποιώντας επαγωγή και τη ταυτότητα απέδειξε την ταυτότητα. Έκτοτε έχουν μελετηθεί εκτενώς οι περιπτώσεις . Μερικά χρόνια αργότερα ο Mansour γενίκευσε την ιδέα του Sury και απέδειξε το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα [Mansour] Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί και η οποία ορίζεται ως
όπου δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα . Έστω , δύο ακολουθίες και έστω οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις. Τότε:
Από το παραπάνω θεώρημα και χρησιμοποιώντας τη παίρνουμε με κατάλληλες επιλογές υπέροχα πράγματα. Για παράδειγμα:
Παράδειγμα: Αν και τότε:
και μετά από κάποιους μετασχηματισμούς παίρνουμε το γενικότερο:
Για παίρνουμε τη ζητούμενη. Αν από την άλλη θέσουμε και τότε παίρνουμε:
Υ.Σ 1: Η απόδειξη του θεωρήματος είναι "τυπική" και γίνεται με γεννήτριες.
Υ.Σ 2: Το θεώρημα δίδει , επίσης , καταπληκτικές εφαρμογές.
Υ.Σ 3: Ξέφυγα από το φάκελο , αλλά δε πειράζει.
και απέδειξε τη παραπάνω σχέση. Το ο Sury έδωσε απόδειξη της ταυτότητας με τη χρήση της ολοκληρωτικής αναπαράστασης του διωνυμικού συντελεστή,
ενώ νωρίτερα το ο Rocket χρησιμοποιώντας επαγωγή και τη ταυτότητα απέδειξε την ταυτότητα. Έκτοτε έχουν μελετηθεί εκτενώς οι περιπτώσεις . Μερικά χρόνια αργότερα ο Mansour γενίκευσε την ιδέα του Sury και απέδειξε το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα [Mansour] Έστω μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί και η οποία ορίζεται ως
όπου δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα . Έστω , δύο ακολουθίες και έστω οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις. Τότε:
Από το παραπάνω θεώρημα και χρησιμοποιώντας τη παίρνουμε με κατάλληλες επιλογές υπέροχα πράγματα. Για παράδειγμα:
Παράδειγμα: Αν και τότε:
και μετά από κάποιους μετασχηματισμούς παίρνουμε το γενικότερο:
Για παίρνουμε τη ζητούμενη. Αν από την άλλη θέσουμε και τότε παίρνουμε:
Υ.Σ 1: Η απόδειξη του θεωρήματος είναι "τυπική" και γίνεται με γεννήτριες.
Υ.Σ 2: Το θεώρημα δίδει , επίσης , καταπληκτικές εφαρμογές.
Υ.Σ 3: Ξέφυγα από το φάκελο , αλλά δε πειράζει.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Και για μελλοντική αναφορά δίνω και τη παρακάτω:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Ταυτότητα με διωνυμικούς συντελεστές!
Το πρόβλημα αυτό μας θυμίζει το Β1 του Putnam του 1958.
Σχεδόν ίδιο είναι το πρόβλημα 1682 που προτάθηκε στο Mathematics Magazine.
Το Δεκέμβρη του 2004, το Mathematics Magazine δημοσίευσε δύο λύσεις και στα σχόλια δίνει 2-3 παραπομπές.
Η ακόλουθη λύση στο ΜΜ1682 που είχα στείλει είναι παρόμοια με τη λύση του κ. Μιχάλη.
Λύση στο ΜΜ1682
Αν είναι το αριστερό μέλος και το δεξί τότε εύκολα βλέπουμε ότι και
για καθε , οπότε αρκεί να δείξουμε ότι
για καθε . Πράγματι, παρατηρούμε ότι
για καθε . Αθροίζοντας τις σχέσεις αυτές για , παίρνουμε
δηλαδή,
από την οποία έπεται η σχέση (*) για την .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες