Ελάχιστη τιμή φυσικού!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Ελάχιστη τιμή φυσικού!
Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό έτσι ώστε ο να είναι φυσικός.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού!
Έχουμε και άρα .
Θέλω να βρω τον αντίστροφο του modulo . Τρέχω πρώτα τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να βρω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των και . Οι πρώτες δυο γραμμές είναι
Δεν χρειάζεται να τον συνεχίσω διότι τώρα παρατηρώ ότι και συνεχίζω τρέχοντας τον Ευκλείδιο αλγόριθμο ανάποδα:
Άρα λοιπόν
Για το τελευταίο έχω
[Εδώ, με τις διαιρέσεις, εννοώ πολλαπλασιασμό με τον ανίστροφο modulo . Επιτρέπονται επειδή .]
Είναι . Άρα .
Πάλι μέσω του Ευλείδειου αλγορίθμου βρίσκω . Άρα
Η μικρότερος λοιπόν θετικός ακέραιος που ικανοποιεί το ζητούμενο είναι ο .
Θέλω να βρω τον αντίστροφο του modulo . Τρέχω πρώτα τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να βρω τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των και . Οι πρώτες δυο γραμμές είναι
Δεν χρειάζεται να τον συνεχίσω διότι τώρα παρατηρώ ότι και συνεχίζω τρέχοντας τον Ευκλείδιο αλγόριθμο ανάποδα:
Άρα λοιπόν
Για το τελευταίο έχω
[Εδώ, με τις διαιρέσεις, εννοώ πολλαπλασιασμό με τον ανίστροφο modulo . Επιτρέπονται επειδή .]
Είναι . Άρα .
Πάλι μέσω του Ευλείδειου αλγορίθμου βρίσκω . Άρα
Η μικρότερος λοιπόν θετικός ακέραιος που ικανοποιεί το ζητούμενο είναι ο .
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστη τιμή φυσικού!
Ευχαριστώ τον Δημήτρη για την λύση του. Δίνω την λύση μου.
Έστω . Αφού , είναι και , οπότε .
Είναι (1).
Από Θ. Fermat (2).
Από (1), (2), (3).
Αν , είναι , άτοπο, οπότε .
Είναι , και
και με το προηγούμενο τέχνασμα
, οπότε .
Έστω . Αφού , είναι και , οπότε .
Είναι (1).
Από Θ. Fermat (2).
Από (1), (2), (3).
Αν , είναι , άτοπο, οπότε .
Είναι , και
και με το προηγούμενο τέχνασμα
, οπότε .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες