Ανισότητα με δυνάμεις

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 15, 2017 8:47 pm

Ισως είναι γνωστή.Αν είναι πως την έχουν βαπτίσει;

Εστω a,b,c> 0,abc=1

Θεωρούμε 0< r< s< 1

Να δειχθεί ότι

a^{r}+b^{r}+c^{r}\leq a^{s}+b^{s}+c^{s}

Συμπλήρωμα.
Αρκεί 0< r< s



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7286
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Demetres » Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:20 pm

 Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το 1 = (abc)^{(s-r)/3}, αρκεί, για a,b,c>0, να δείξουμε ότι

\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη r < s χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 450
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από AlexandrosG » Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:11 pm

Μια λύση με Διαφορικό Λογισμό.

Έστω f(t)=a^t+b^t+c^t. Είναι \displaystyle{f'(t)=a^t \ln a+b^t \ln b+c^t \ln c} και

\displaystyle{f''(t)=a^t (\ln a)^2+b^t (\ln b)^2+c^t (\ln c)^2 \geq 0.}

Άρα f'(t) \geq f'(0)=\ln a+\ln b+\ln c=\ln (abc)=\ln 1=0. Άρα η f είναι αύξουσα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:32 pm

Demetres έγραψε: Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το 1 = (abc)^{(s-r)/3}, αρκεί, για a,b,c>0, να δείξουμε ότι

\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη r < s χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]

Αν στην
\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}

εφαρμόσουμε Holder με εκθέτες \frac{3s}{2r+s},\frac{3s}{s-r},\frac{3s}{s-r}
προκύπτει.

Βέβαια κατά την γνώμη μου η λύση του Αλέξαντρου είναι η πιο ενδεδειγμένη

Η ανισότητα εμφανίσθηκε κρυμμένη στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Η λύση του George Chimonides εκεί έχει ενδιαφέρον.Αν δεν την βρεί κανένας θα την γράψω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 15, 2017 11:58 pm

Demetres έγραψε: Δεν ξέρω αν έχει όνομα αλλά αποδεικνύεται με την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη:

Πολλαπλασιάζοντας το αριστερό μέλος με το 1 = (abc)^{(s-r)/3}, αρκεί, για a,b,c>0, να δείξουμε ότι

\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}

Όμως από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle{ (2r+s)a^s + (s-r)b^s + (s-r)c^s \geqslant 3s a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}}}

Εφαρμόζοντας κυκλικά και προσθέτοντας έχουμε το ζητούμενο.

[Η συνθήκη r < s χρησιμοποιήθηκε για να είναι θετικοί οι συντελεστές στην ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.]


Η ανισότητα
\displaystyle{ a^s + b^s + c^s \geqslant a^{\frac{2r+s}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{2r+s}{3}}c^{\frac{(s-r)}{3}} + a^{\frac{(s-r)}{3}}b^{\frac{(s-r)}{3}}c^{\frac{2r+s}{3}}}

προκύπτει αν εφαρμόσουμε Holder με εκθέτες \frac{3s}{2r+s},\frac{3s}{s-r},\frac{3s}{s-r}.


Βέβαια κατά την γνώμη μου η λύση του Αλέξαντρου είναι η πιο ενδεδειγμένη

Η ανισότητα εμφανίσθηκε κρυμμένη στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Η λύση του George Chimonides εκεί έχει ενδιαφέρον.Αν δεν την βρεί κανένας θα την γράψω.

Συμπλ.Διόρθωσα κάποια εκφραστικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7286
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Demetres » Κυρ Ιούλ 16, 2017 11:23 am

Αλλιώς, πάλι από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ με βάρη, έχουμε

\displaystyle{ ta^s + (s-t) \geqslant sa^t}

Άρα:

\displaystyle{ s\Sum a^s = t\sum a^s + (s-t) \sum a^s \geqslant t\sum a^s + 3(s-t) = \sum (ta^s + (s-t)) \geqslant \sum a^t}

Πιο πάνω όλα τα αθροίσματα είναι κυκλικά. Στην πρώτη ανισότητα εφαρμόσαμε την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ και χρησιμοποιήσαμε το δεδομένο ότι abc = 1.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 16, 2017 9:19 pm

Η παρακάτω λύση έχει δοθεί από τον George Chimonides.

Εστω 0< r< s

Από την ανισότητα της αναδιάταξης (η όπως αλλιώς λέγεται ) είναι

\dfrac{a^{r}+b^{r}+c^{r}}{3}.\dfrac{a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}}{3}\leq \dfrac{a^{s}+b^{s}+c^{s}}{3}

Αλλά από AMG είναι a^{s-r}+b^{s-r}+c^{s-r}\geq 3

(abc=1)

και τελειώσαμε.


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1110
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Ανισότητα με δυνάμεις

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από silouan » Τρί Ιούλ 18, 2017 3:25 am

Άλλη μια λύση:

Από την μονοτονία της x^a όταν x\geq 1 και την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε ότι
\displaystyle\left(\frac{a^s+b^s+c^s}{3}\right)^s\geq\left(\frac{a^s+b^s+c^s}{3}\right)^r\geq \left(\frac{a^r+b^r+c^r}{3}\right)^s.


Σιλουανός Μπραζιτίκος

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης