Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2859
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 06, 2017 11:03 pm

Έστω n \in \mathbb{N}^* και ας δηλώνει το \left \lfloor x \right \rfloor το ακέραιο μέρος. Ας δειχθεί ότι

\displaystyle{\prod_{k=1}^{n^2}\left ( \frac{k^{\sqrt{k}}}{\left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor} \right )^{\left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor} \left ( \sum_{k=1}^{n} \left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor \right )^{\large \sum \limits_{k=1}^{n} \left \lfloor \sqrt{k}+1 \right \rfloor } \leq \left ( \sum_{k=1}^{n^2} k^{\sqrt{k}} \right )^{\sum  \limits_{k=1}^{n^2} \left \lfloor \sqrt{k} + 1 \right \rfloor}}

Redwane El Mellas , 2014

Άνευ λύσης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2859
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Tolaso J Kos » Δευ Ιαν 23, 2017 10:39 am

Όχι ε;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7357
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Demetres » Δευ Ιαν 23, 2017 12:55 pm

Γράφουμε \displaystyle{x_k = \frac{k^{\sqrt{k}}}{\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor}}, w_k=\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor, w = w_1 + \cdots + w_{n^2} και m = n^2. Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

\displaystyle{\left( \frac{w_1x_1 + \cdots + w_mx_m}{w}\right)^w \geqslant x_1^{w_1} \cdots x_m^{w_m}}

η οποία ισχύει αφού είναι η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στην μορφή των βαρών.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1281
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 23, 2017 1:05 pm

Γεια σου Τόλη.
Δεν νομίζω να είναι δύσκολη η λύση αλλά η πληκτρολόγηση τουλάχιστον για μένα είναι αδύνατη.
Νομίζω ότι βγαίνει με γενικευμένη αριθμητικός γεωμετρικός μέσος.
Μάλιστα βελτιώνετε.
(με την επιφύλαξη να έχω λάθος)
Θα την κοιτάξω ξανά και αν δεν έχει γίνει θα προσπαθήσω να πληκτρολογήσω την ιδέα.
Συμπλήρωμα.
Ευχαριστώ Δημήτρη.Δεν θα μπω στον κόπο.


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1228
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ανισότητα με ακέραιο μέρος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από dement » Δευ Ιαν 23, 2017 1:12 pm

Demetres έγραψε:Γράφουμε \displaystyle{x_k = \frac{k^{\sqrt{k}}}{\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor}}, w_k=\lfloor \sqrt{k}+1\rfloor, w = w_1 + \cdots + w_{n^2} και m = n^2. Η ζητούμενη ανισότητα γίνεται

\displaystyle{\left( \frac{w_1x_1 + \cdots + w_mx_m}{w}\right)^w \geqslant x_1^{w_1} \cdots x_m^{w_m}}

η οποία ισχύει αφού είναι η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ στην μορφή των βαρών.


Το οποίο φυσικά προϋποθέτει λαθάκι στην αρχική εκφώνηση... Ας προσέχουμε λίγο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης