Συναρτησιακή
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Συναρτησιακή
simantiris j. έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση
,.
άρα και
Φωτεινή Καλδή
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Συναρτησιακή
Γεια σας κ.Φωτεινή,υπάρχουν και άλλες λύσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη.Το λάθος νομίζω βρίσκεται στο καθώς με την αντικατάσταση που κάνατε είναι ,οπότε η (3) είναι λανθασμένη.
Σημαντήρης Γιάννης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συναρτησιακή
Έστω
η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Εναλλάσσοντας τα και στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε
Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι
για κάθε
Θέτουμε και
Θέτοντας στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε
Από τις σχέσεις και βρίσκουμε ότι:
από όπου, για προκύπτει ότι
για κάθε Άρα, είναι
για κάθε Επειδή, όμως, η σχέση αυτή ισχύει και για έχουμε ότι για κάθε
Με αντικατάσταση στη σχέση βρίσκουμε ότι
για κάθε
Αντικαθιστώντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
από όπου προκύπτει ότι είτε είτε και
Ώστε, έχουμε δύο περιπτώσεις:
για κάθε
και για κάθε όπου τυχαίος.
η δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Εναλλάσσοντας τα και στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε
Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι
για κάθε
Θέτουμε και
Θέτοντας στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε
Από τις σχέσεις και βρίσκουμε ότι:
από όπου, για προκύπτει ότι
για κάθε Άρα, είναι
για κάθε Επειδή, όμως, η σχέση αυτή ισχύει και για έχουμε ότι για κάθε
Με αντικατάσταση στη σχέση βρίσκουμε ότι
για κάθε
Αντικαθιστώντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις:
από όπου προκύπτει ότι είτε είτε και
Ώστε, έχουμε δύο περιπτώσεις:
για κάθε
και για κάθε όπου τυχαίος.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Re: Συναρτησιακή
Σωστά!
Αν και τελικά δεν επηρεάζει την λύση,το μπορεί να αποδειχθεί πριν την εύρεση της μορφής των συναρτήσεων.
Έχουμε ότι
(1).
Αν τότε από (1) η είναι 1-1.
Επίσης
Θέτωντας στην τελευταία όπου το έχουμε λόγω του 1-1,άτοπο,άρα .Η συνέχεια όπως πάνω.
Η άσκηση αυτή είναι το Α3 της IMO Shortlist 2011.
Αν και τελικά δεν επηρεάζει την λύση,το μπορεί να αποδειχθεί πριν την εύρεση της μορφής των συναρτήσεων.
Έχουμε ότι
(1).
Αν τότε από (1) η είναι 1-1.
Επίσης
Θέτωντας στην τελευταία όπου το έχουμε λόγω του 1-1,άτοπο,άρα .Η συνέχεια όπως πάνω.
Η άσκηση αυτή είναι το Α3 της IMO Shortlist 2011.
Σημαντήρης Γιάννης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης