Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις τέτοιες ώστε
για κάθε
για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016
Έστω
η δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Για κάθε έχουμε ότι:
.
Ισχυρισμός 1: Υπάρχει τέτοιο, ώστε .
Πράγματι, θέτοντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι
οπότε μπορούμε να πάρουμε
Ισχυρισμός 2: Είναι και .
Πράγματι, θέτοντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι
.
Επίσης, έχουμε ότι:
και άρα, από τη σχέση ,
.
Αν ήταν , τότε θα είχαμε ότι και από τη σχέση έχουμε ότι πράγμα άτοπο. Επομένως, από τη σχέση προκύπτει ότι και από τη σχέση ότι .
Οι σχέσεις και τώρα γράφονται αντίστοιχα
και
για κάθε .
Από τις σχέσεις και έχουμε ότι:
για κάθε .
Θέτοντας όπου το στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε .
Εξάλλου, από τις σχέσεις και προκύπτει ότι:
για κάθε .
Ισχυρισμός 3: Είναι .
Πράγματι, έστω τέτοιο, ώστε Τότε, η σχέση δίνει ότι και άρα από τη σχέση έχουμε ότι
Ισχυρισμός 4: Είναι .
Πράγματι, έστω (με ) τέτοιο, ώστε Τότε, από τη σχέση και τον Ισχυρισμό 3 προκύπτει ότι:
Η σχέση δίνει τώρα ότι
για κάθε με .
Θα δείξουμε ότι η σχέση ισχύει και για , δηλαδή ότι .
Πράγματι, η σχέση για δίνει ότι , ενώ η σχέση για δίνει ότι
Τέλος, από τις σχέσεις και έπεται ότι για κάθε ,
για κάθε ,
συνάρτηση που επαληθεύει τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
η δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Για κάθε έχουμε ότι:
.
Ισχυρισμός 1: Υπάρχει τέτοιο, ώστε .
Πράγματι, θέτοντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι
οπότε μπορούμε να πάρουμε
Ισχυρισμός 2: Είναι και .
Πράγματι, θέτοντας στη σχέση , βρίσκουμε ότι
.
Επίσης, έχουμε ότι:
και άρα, από τη σχέση ,
.
Αν ήταν , τότε θα είχαμε ότι και από τη σχέση έχουμε ότι πράγμα άτοπο. Επομένως, από τη σχέση προκύπτει ότι και από τη σχέση ότι .
Οι σχέσεις και τώρα γράφονται αντίστοιχα
και
για κάθε .
Από τις σχέσεις και έχουμε ότι:
για κάθε .
Θέτοντας όπου το στη σχέση βρίσκουμε ότι:
για κάθε .
Εξάλλου, από τις σχέσεις και προκύπτει ότι:
για κάθε .
Ισχυρισμός 3: Είναι .
Πράγματι, έστω τέτοιο, ώστε Τότε, η σχέση δίνει ότι και άρα από τη σχέση έχουμε ότι
Ισχυρισμός 4: Είναι .
Πράγματι, έστω (με ) τέτοιο, ώστε Τότε, από τη σχέση και τον Ισχυρισμό 3 προκύπτει ότι:
Η σχέση δίνει τώρα ότι
για κάθε με .
Θα δείξουμε ότι η σχέση ισχύει και για , δηλαδή ότι .
Πράγματι, η σχέση για δίνει ότι , ενώ η σχέση για δίνει ότι
Τέλος, από τις σχέσεις και έπεται ότι για κάθε ,
για κάθε ,
συνάρτηση που επαληθεύει τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες