Περιοδική συνάρτηση
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Περιοδική συνάρτηση
Έστω και συνάρτηση με την ιδιότητα
1) Αν , να αποδείξετε ότι η είναι περιοδική.
2) Αν , υπάρχει μη περιοδική συνάρτηση που
ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;
1) Αν , να αποδείξετε ότι η είναι περιοδική.
2) Αν , υπάρχει μη περιοδική συνάρτηση που
ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;
Σπύρος Καπελλίδης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Περιοδική συνάρτηση
Πολύ ωραίο θέμα, που γενικεύει το πρόβλημα Α7 του IMO Shortlist 1996.
1) Έστω και
Η εξίσωση (αφού θέσουμε ) παίρνει τη μορφή .
Θέτοντας στην διαδοχικά και προσθέτοντας, έχουμε
Έτσι, αν τότε οπότε
Επαγωγικά, . Επειδή η , άρα και η , είναι κάτω φραγμένη (αλλιώς η παίρνει αρνητικές τιμές για μεγάλες, κατ' απόλυτη τιμή τιμές του .)
Άρα ή
2)
Ναι, η
Μερικά θέματα με ωραία αποτελέσματα για τις περιοδικές είδαμε στα επόμενα:
viewtopic.php?f=9&t=6940
viewtopic.php?f=56&t=11293
viewtopic.php?f=56&t=3911
1) Έστω και
Η εξίσωση (αφού θέσουμε ) παίρνει τη μορφή .
Θέτοντας στην διαδοχικά και προσθέτοντας, έχουμε
Έτσι, αν τότε οπότε
Επαγωγικά, . Επειδή η , άρα και η , είναι κάτω φραγμένη (αλλιώς η παίρνει αρνητικές τιμές για μεγάλες, κατ' απόλυτη τιμή τιμές του .)
Άρα ή
2)
Ναι, η
Μερικά θέματα με ωραία αποτελέσματα για τις περιοδικές είδαμε στα επόμενα:
viewtopic.php?f=9&t=6940
viewtopic.php?f=56&t=11293
viewtopic.php?f=56&t=3911
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Περιοδική συνάρτηση
Μία ακόμα, πολύ ωραία λύση στην παραπάνω:
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1228728
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1228728
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες