Μεσογειακά σύνολα
Συντονιστές: Demetres, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μεσογειακά σύνολα
Ένα σύνολο λέγεται βαλεαρικό, αν υπάρχουν όχι απαραίτητα διαφορετικά, τέτοια ώστε ο αριθμός να είναι δύναμη του
Για ποιες τιμές του υπάρχει υποσύνολο στοιχείων του το οποίο δεν είναι βαλεαρικό, αλλά κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό;
Για ποιες τιμές του υπάρχει υποσύνολο στοιχείων του το οποίο δεν είναι βαλεαρικό, αλλά κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό;
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μεσογειακά σύνολα
Θα δείξω ότι αυτό ισχύει μόνο για . Αυτό είναι άμεση συνέπεια των Λημμάτων 1-4
Λήμμα 1: Αν τότε το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Μπορούμε να πάρουμε το όπου:
και .
Οι αριθμοί κάθε ανήκουν στο διάστημα και άρα το άθροισμα κάθε δύο αριθμών του ανήκει στο διάστημα οπότε δεν είναι δύναμη του . Με παρόμοιο τρόπο βλέπουμε ότι το άθροισμα ενός αριθμού από το και οποιουδήποτε άλλου αριθμού είναι μεγαλύτερο του και μικρότερο του άρα δεν είναι δύναμη του . Τέλος κάθε επιλέχθηκε ώστε τα στοιχεία του να είναι μεγαλύτερα του , μικρότερα του αλλά το άθροισμά τους με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο των να μην ισούται με και άρα να μην είναι δύναμη του .
Συνολικά έχουμε στοιχεία με το σύνολο να μην είναι βαλεαρικό.
Λήμμα 2: Το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Απλά αφαιρούμε το από το υποσύνολο της απόδειξης του λήμματος 1.
Λήμμα 3: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:
.
Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .
Λήμμα 4: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:
.
Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .
Λήμμα 1: Αν τότε το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Μπορούμε να πάρουμε το όπου:
και .
Οι αριθμοί κάθε ανήκουν στο διάστημα και άρα το άθροισμα κάθε δύο αριθμών του ανήκει στο διάστημα οπότε δεν είναι δύναμη του . Με παρόμοιο τρόπο βλέπουμε ότι το άθροισμα ενός αριθμού από το και οποιουδήποτε άλλου αριθμού είναι μεγαλύτερο του και μικρότερο του άρα δεν είναι δύναμη του . Τέλος κάθε επιλέχθηκε ώστε τα στοιχεία του να είναι μεγαλύτερα του , μικρότερα του αλλά το άθροισμά τους με οποιοδήποτε άλλο στοιχείο των να μην ισούται με και άρα να μην είναι δύναμη του .
Συνολικά έχουμε στοιχεία με το σύνολο να μην είναι βαλεαρικό.
Λήμμα 2: Το έχει ένα υποσύνολο στοιχείων που δεν είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Απλά αφαιρούμε το από το υποσύνολο της απόδειξης του λήμματος 1.
Λήμμα 3: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:
.
Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .
Λήμμα 4: Κάθε υποσύνολο στοιχείων του είναι βαλεαρικό.
Απόδειξη: Διαμερίζουμε το σύνολο στα εξής υποσύνολα:
.
Συνολικά καταγράψαμε μονοσύνολα και δισύνολα. Κάθε μη βαλεαρικό σύνολο περιέχει μόνο ένα στοιχείο από κάθε δισύνολο αφού το άθροισμα των δύο στοιχείων είναι δύναμη του . Επίσης δεν μπορεί να περιέχει κανένα στοιχείο μονοσυνόλου επειδή το άθροισμα με τον εαυτό του είναι δύναμη του .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες