Putnam 2017/A1

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7519
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2017/A1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 am

Το S είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) 2 \in S
(β) Αν n^2 \in S τότε n \in S, και
(γ) Αν n \in S τότε (n+5)^2 \in S.

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο S

(Το σύνολο S είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)



Λέξεις Κλειδιά:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 480
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Putnam 2017/A1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm

Demetres έγραψε:
Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 am
Το S είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) 2 \in S
(β) Αν n^2 \in S τότε n \in S, και
(γ) Αν n \in S τότε (n+5)^2 \in S.

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο S

(Το σύνολο S είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολο με αυτές τις ιδιότητες.)
Καλησπέρα κ. Δημήτρη!

Αρχικά είναι προφανές ότι το 1 δεν μπορεί να ανήκει στο S. Επίσης αν προκύψει ένα πολ. 5 θα πρέπει οπωσδήποτε να είχαμε και πριν ένα πολ. 5. Αλλά στην αρχή δεν είχαμε πολ. 5 οπότε δεν μπορεί να προκύψει και πολ. 5. Συνεπώς όλα τα πολλαπλάσια του 5 δεν ανήκουν και αυτά στο S.

Παρατηρούμε επίσης ότι αν ανήκει στο S το k τότε και το k+5 θα ανήκει στο S (Ιδιότητα \star. Αυτό το βλέπουμε με εφαρμογή της (γ) και κατόπιν της (β).

Θα αποδείξουμε ότι 3 \in S. Θα χρησιμοποιήσω τα αντίστροφα βέλη για να δείξω τι αρκεί να αποδείξω:

3 \leftarrow 9 \leftarrow 4 \leftarrow 16 \leftarrow 256\leftarrow 256^2 δηλ. ότι 256^2\in S. Ομως:

2 \rightarrow 49 \rightarrow 54 \rightarrow 54^2 και 54^2=2916=5l+1 άρα αφού 256^2=5m+1 με εφαρμογή της \star πολλες φορές στο 54^2 αποδεικνύω ότι 256^2\in S άρα 3\in S και 4 \in S.

Είναι τέλος 3 \rightarrow 16 \rightarrow 21 \rightarrow  26 \rightarrow  31 \rightarrow 36 \rightarrow 6 οπότε 2,3,4,6\in S άρα:

Ολοι οι θετικοί ακέραιοι εκτός των πολλαπλασίων του 5 και το 1 ανήκουν στο S


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες