ΜΚΔ

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

ΜΚΔ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Παρ Νοέμ 03, 2017 7:08 pm

Υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών ώστε το άθροισμα

GCD(a^2,b^2)+GCD(a,bc)+GCD(b,ca)+GCD(c,ab)

να είναι 2016,2017 ή 2018;



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: ΜΚΔ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm

Για άρτιο άθροισμα 2k \ (k \geqslant 2) η απάντηση είναι πάντα θετική, αρκεί να έχουμε \gcd (a,c) = k-1, \gcd(a,b) = \gcd(c,b) = 1. Έτσι, για άθροισμα 2016 παίρνουμε a = c = 1007, b = 1 και για άθροισμα 2018 παίρνουμε a = c = 1008, b = 1.

Για πρώτο άθροισμα (όπως το 2017) πρέπει να ισχύει \gcd(a,b,c)=1 (αφού διαιρεί όλους τους όρους). Έτσι όμως η παράσταση παραγοντοποιείται σε \left( \gcd(a,b) + \gcd(a,c) \right) \left( \gcd(a,b) + \gcd(b,c) \right) που δεν μπορεί να είναι πρώτος. Έτσι, για 2017 είναι αδύνατο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης