mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 03, 2017 7:08 pm**

Υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών ώστε το άθροισμα

GCD(a^2,b^2)+GCD(a,bc)+GCD(b,ca)+GCD(c,ab)

να είναι

ή

;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm**

Για άρτιο άθροισμα $2k \ (k \geqslant 2)$ η απάντηση είναι πάντα θετική, αρκεί να έχουμε $\gcd (a,c) = k-1, \gcd(a,b) = \gcd(c,b) = 1$ . Έτσι, για άθροισμα 2016

παίρνουμε

και για άθροισμα 2018

παίρνουμε

.

Για πρώτο άθροισμα (όπως το 2017

) πρέπει να ισχύει $\gcd(a,b,c)=1$ (αφού διαιρεί όλους τους όρους). Έτσι όμως η παράσταση παραγοντοποιείται σε $\left( \gcd(a,b) + \gcd(a,c) \right) \left( \gcd(a,b) + \gcd(b,c) \right)$ που δεν μπορεί να είναι πρώτος. Έτσι, για 2017

είναι αδύνατο.

mathematica.gr

ΜΚΔ

ΜΚΔ

Re: ΜΚΔ