Εκθετική εξίσωση...

M.S.Vovos · #1

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{x^{y}+y^{x}=100}$ Φιλικά.

Υ.Γ. Με επιφύλαξη για την σωστή τοποθέτηση του θέματος στο φάκελο.

JimNt. · #2

M.S.Vovos έγραψε:Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει η σχέση:
$\displaystyle{x^{y}+y^{x}=100}$ Φιλικά.

Υ.Γ. Με επιφύλαξη για την σωστή τοποθέτηση του θέματος στο φάκελο.

Οι τέλειες δυνάμεις μικρότερες του 100

είναι

. Συνεπώς, οι ζητούμενοι είναι 36,64

$\Rightarrow$ (x,y)=(2,6),(6,2)

. (Λίγο ανορθόδοξος τρόπος. Αλλά αφού μας βολεύει, γιατί όχι;). Αν ένας εκ των x,y

είναι

παίρνουμε και τις λύσεις (1,99),(99,1)

dement · #3

Ξέχασες μία λύση...

JimNt. · #4

Tην

... Σωστά

harrisp · #5

Ας κάνουμε το ίδιο για την εξής εξίσωση:

x^y=y^x

JimNt. · #6

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Ας κάνουμε το ίδιο για την εξής εξίσωση:

Αν

, έχουμε τις λύσεις (x,y)=(f,f)

Τώρα αν $x \neq y$ θέτουμε (x,y)=d

και

,

.Αντικαθιστώντας και χωρις βλάβη υποθέτωντας ότι x>y

παίρνουμε

$\Rightarrow$ m=1

. Αντικαθιστώντας, όπου

στην αρχική την x=yn

. Παίρνουμε $n=y^{n-1}$ . Προφανώς $y,n\ge 2$ (αφού x>y

). Επαγωγικά δέιχνουμε πως για $n\ge3$ , $2^{n-1}>n$ . Συνεπώς, n=2

. Και έχουμε και την (x,y)=(4,2),(2,4)

M.S.Vovos · #7

Όμορφα. Τι λέτε και για αυτή;

$\displaystyle{x^{y}\cdot y^{x}=72}$

harrisp · #8

M.S.Vovos έγραψε:Όμορφα. Τι λέτε και για αυτή;

$\displaystyle{x^{y}\cdot y^{x}=72}$

Αν δεν κανω κάποιο λάθος αν ακολουθήσουμε την τακτική του JimNt. πιο πάνω θα βρούμε την (x,y)=(2,3),(3,2)

αλλα και την (x,y)=(72,1),(1,72)

Friedoon · #9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Όμορφα. Τι λέτε και για αυτή;

$\displaystyle{x^{y}\cdot y^{x}=72}$
Αν δεν κανω κάποιο λάθος αν ακολουθήσουμε την τακτική του JimNt. πιο πάνω θα βρούμε την αλλα και την

Η απάντησή σου είναι σωστή αλλά νομίζω το σκεπτικό σου είναι λάθος καθώς σε ασκήσεις τέτοιας μορφής μπορούμε να βρούμε και λύσεις με αρνητικό

ή

.

harrisp · #10

Friedoon έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Όμορφα. Τι λέτε και για αυτή;

$\displaystyle{x^{y}\cdot y^{x}=72}$
Αν δεν κανω κάποιο λάθος αν ακολουθήσουμε την τακτική του JimNt. πιο πάνω θα βρούμε την αλλα και την
Η απάντησή σου είναι σωστή αλλά νομίζω το σκεπτικό σου είναι λάθος καθώς σε ασκήσεις τέτοιας μορφής μπορούμε να βρούμε και λύσεις με αρνητικό ή .

Μα δουλεύουμε στους θετικούς ακεραίους .

Εκθετική εξίσωση...

Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Re: Εκθετική εξίσωση...

Μέλη σε σύνδεση