Διοφαντική με παραγοντικό

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Διοφαντική με παραγοντικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιάννης Μπόρμπας » Τρί Ιαν 10, 2017 11:47 pm

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί p και οι θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=n! (Χωρίς επαγωγή).



Λέξεις Κλειδιά:
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από JimNt. » Τετ Ιαν 11, 2017 1:30 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί p και οι θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=n! (Χωρίς επαγωγή).

Βάζω λύση με επαγωγή. Πρέπει p|n! και επειδή p πρώτος προκύπτει n! \ge p!. Πρέπει λοιπόν p^4+p^3+p^2+p\ge p! (1). Επαγωγικά δείχνουμε πως για p\ge7 η (1) δεν ισχύει. Ελέχγοντας τώρα τις περιπτώσεις παίρνουμε ως μόνη λύση (n,p)=(5,3).


One of the basic rules of the Universe is that nothing is perfect. Perfection does not exist... Without imperfection, neither you nor I would exist - Stephen Hawking
5-20-8-20-13-9-15-18
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8830
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 11, 2017 2:13 pm

JimNt. έγραψε: Πρέπει λοιπόν p^4+p^3+p^2+p\ge p! (1). Επαγωγικά δείχνουμε πως για p\ge7 η (1) δεν ισχύει.


Το βήμα αυτό μπορούμε και χωρίς επαγωγή, οπότε το θέμα κλείνει.

Αφού η για p=7 μπορούμε να κάνουμε απευθείας έλεγχο, μπορούμε να υποθέσουμε p\ge 9 (το ότι είναι πρώτος μας δίνει ακόμα καλύτερα p\ge 11 αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσω).

Για p\ge 9 ισχύει p\le \frac {3}{2}(p-3). Άρα

p^4+p^3+p^2+p < 4p^4 = 4 \cdot p \cdot p\cdot p\cdot p \le 4 \cdot p \cdot \frac {3}{2}(p-1)\cdot \frac {3}{2}(p-2)\cdot \frac {3}{2}(p-3)

=  \frac {27}{2}p(p-1)(p-2)(p-3) \le p(p-1)(p-2)(p-3)\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 < p!


manousos
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 10, 2015 8:46 pm

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από manousos » Τετ Ιαν 11, 2017 6:33 pm

Η εξίσωση γράφεται :

\displaystyle{p^3 + p^2 + p + 1 = (p-1)!(p+1)\cdots (p+n)}

\displaystyle{n\geq 3 \Rightarrow (p+1)(p+2)(p+3)= p^3 + 6p^2 + 11p + 6 \mid p^3 + p^2 + p + 1} ΑΤΟΠΟ

Άρα από \displaystyle{Wilson} έχουμε τις περιπτώσεις :

\displaystyle{1 \equiv -2 (mod\; p)\: or\: 1\equiv -1 (mod\: p)\: \Rightarrow p =2\: or\: p=3}

Δεκτή μόνο η \displaystyle{p=3}



Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης