Σελίδα 1 από 1

Διοφαντική με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 11:47 pm
από Γιάννης Μπόρμπας
Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί p και οι θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=n! (Χωρίς επαγωγή).

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 1:30 pm
από JimNt.
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί p και οι θετικοί ακέραιοι n που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=n! (Χωρίς επαγωγή).

Βάζω λύση με επαγωγή. Πρέπει p|n! και επειδή p πρώτος προκύπτει n! \ge p!. Πρέπει λοιπόν p^4+p^3+p^2+p\ge p! (1). Επαγωγικά δείχνουμε πως για p\ge7 η (1) δεν ισχύει. Ελέχγοντας τώρα τις περιπτώσεις παίρνουμε ως μόνη λύση (n,p)=(5,3).

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 2:13 pm
από Mihalis_Lambrou
JimNt. έγραψε: Πρέπει λοιπόν p^4+p^3+p^2+p\ge p! (1). Επαγωγικά δείχνουμε πως για p\ge7 η (1) δεν ισχύει.


Το βήμα αυτό μπορούμε και χωρίς επαγωγή, οπότε το θέμα κλείνει.

Αφού η για p=7 μπορούμε να κάνουμε απευθείας έλεγχο, μπορούμε να υποθέσουμε p\ge 9 (το ότι είναι πρώτος μας δίνει ακόμα καλύτερα p\ge 11 αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσω).

Για p\ge 9 ισχύει p\le \frac {3}{2}(p-3). Άρα

p^4+p^3+p^2+p < 4p^4 = 4 \cdot p \cdot p\cdot p\cdot p \le 4 \cdot p \cdot \frac {3}{2}(p-1)\cdot \frac {3}{2}(p-2)\cdot \frac {3}{2}(p-3)

=  \frac {27}{2}p(p-1)(p-2)(p-3) \le p(p-1)(p-2)(p-3)\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 < p!

Re: Διοφαντική με παραγοντικό

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 6:33 pm
από manousos
Η εξίσωση γράφεται :

\displaystyle{p^3 + p^2 + p + 1 = (p-1)!(p+1)\cdots (p+n)}

\displaystyle{n\geq 3 \Rightarrow (p+1)(p+2)(p+3)= p^3 + 6p^2 + 11p + 6 \mid p^3 + p^2 + p + 1} ΑΤΟΠΟ

Άρα από \displaystyle{Wilson} έχουμε τις περιπτώσεις :

\displaystyle{1 \equiv -2 (mod\; p)\: or\: 1\equiv -1 (mod\: p)\: \Rightarrow p =2\: or\: p=3}

Δεκτή μόνο η \displaystyle{p=3}