Σελίδα 1 από 1
Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 30, 2017 1:17 pm
από silouan
Έστω τρίγωνο
και οι παρεγγεγραμμένοι του κύκλοι
και
. O
εφάπτεται των
,
στα
αντίστοιχα και ο
των
,
στα
αντίστοιχα. Αν οι
,
τέμνονται στο
, να αποδειχθεί ότι
.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 01, 2017 5:58 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
silouan έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 30, 2017 1:17 pm
Έστω τρίγωνο
και οι παρεγγεγραμμένοι του κύκλοι
και
. O
εφάπτεται των
,
στα
αντίστοιχα και ο
των
,
στα
αντίστοιχα. Αν οι
,
τέμνονται στο
, να αποδειχθεί ότι
.
Εστω
τα κέντρα των
αντίστοιχα.
Από την ομοιότητα των τριγώνων
παίρνουμε
Αν
είναι το ύψος του τριγώνου τότε ο Θαλής μαζί με την προηγούμενη
δίνει
(1)
Εστω
Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα
είναι όμοια.
Ετσι έχουμε
Αλλά
όπου
η ημιπερίμετρος.
Αρα
(2)
Αν τώρα
υπολογίζουμε όμοια ότι
(3)
Τελικά οι (1), (2), (3) μας δίνουν ότι
και το ζητούμενο απεδείχθη.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 1:07 am
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
silouan έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 30, 2017 1:17 pm
Έστω τρίγωνο
και οι παρεγγεγραμμένοι του κύκλοι
και
. O
εφάπτεται των
,
στα
αντίστοιχα και ο
των
,
στα
αντίστοιχα. Αν οι
,
τέμνονται στο
, να αποδειχθεί ότι
.
- Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους (2).png (43 KiB) Προβλήθηκε 1625 φορές
Έστω πως οι
και
τέμνουν την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας
του τριγώνου
, η οποία είναι και διάκεντρος των κύκλων
, στα σημεία
. Ακόμα έστω πως η
τέμνει την
στο
.
Παρατηρούμε πως
Όμως είναι
, άρα αφού
, προκύπτει ότι
είναι εγγράψιμο.
Επομένως αφού
, προκύπτει ότι
.
Ομοίως προκύπτει ότι
.
Έχουμε πως
Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο. Ακόμη ξέρουμε πως
, άρα προκύπτει πως
.
Συνεπώς είναι
, άρα είναι
.
Ακόμη έχουμε πως
(1)
Επιπλέον τα ορθογώνια τρίγωνα
και
είναι όμοια αφού
.
Επομένως
(2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα
και
είναι όμοια, άρα
, επομένως το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο και αφού
προκύπτει ότι
.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Δεκ 06, 2017 12:51 am
από silouan
Πολύ ωραίες οι λύσεις σας! Πριν παραθέσω την δική μου, να ρωτήσω: Υπάρχει σύντομη λύση στο παραπάνω πρόβλημα με το Θεώρημα Κούτρα;
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 8:14 pm
από vittasko
Χρησιμοποιώ προς το παρόν, το σχήμα του Διονύση πιο πάνω ( 3η δημοσίευση ).
Έστω τα σημεία
και
.
Στο ορθογώνιο τραπέζιο
, από
, σύμφωνα με το γνωστό Λήμμα που είδαμε πρόσφατα
Εδώ, προκύπτει ότι
Από
και
και ομοίως, έχουμε
Από
προκύπτει ότι το σημείο έστω
ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του τριγώνου
και επομένως, ισχύει
Έστω το σημείο
και από το πλήρες τετράπλευρο
έχουμε ότι η σημειοσειρά
είναι αρμονική, όπου
( αντί του σημείου
στο σχήμα ).
Από την αρμονικότητα της ως άνω σημειοσειράς, προκύπτει ότι
λόγω
.
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα
έχουμε
Από
Από
και άρα, ισχύει
Από
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 9:14 pm
από S.E.Louridas
Γεια χαρά.
Έστω
η επαφή του κύκλου
με την
και
η επαφή του κύκλου
με την
Τότε προφανώς έχουμε
(*)
οπότε το σημείο τομής
των
θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Ταυτόχρονα έχουμεQ
Άρα τα σημεία
είναι συνευθειακά.
(*) Επειδή οι
,
είναι παράλληλες στις διχοτόμους των γωνιών
και
αντίστοιχα.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 9:20 pm
από min##
Αλλιώς:Αν
το έκκεντρο και η προβολή του στην
και
οι προβολές του
στις
,λόγω του εγγράψιμου
(απλό),θα είναι τα
όμοια.Είναι
,δηλαδή
και
,δηλαδή
και επειδή
τα
είναι όμοια,δηλαδή και τα
είναι (αντιστρόφως) όμοια,άρα είναι και ορθολογικά κλπ.
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 10:38 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 10:53 pm
από min##
Με την παραπάνω σχέση για το
και 2 Μενέλαους στα
με διατέμνουσες τις
,αρκεί
,δηλαδή
το οποίο τσεκάρεται απλούστατα.(
το οποίο και λόγω κυκλικότητας των
είναι ίσο με
)
Re: Καθετότητα με δύο παρεγγεγραμμένους
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 28, 2018 11:11 pm
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ