Ορθή από ίχνη διχοτόμων

#1

: Ορθή από ίχνη διχοτόμων.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 985 φορές

Έστω

οι διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου ABC.

Αν $F\widehat DB=A\widehat EB,$ να δείξετε ότι $F\widehat DE=90^0.$

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Γιώργο.

Έστω AB=c, AC=b, BC=a

.

Τα τρίγωνα $\vartriangle EIC, \vartriangle FDC$ είναι όμοια, επειδή έχουν $\widehat{IEC}=180^\circ-\widehat{AEB}=180^\circ-\widehat{FDB}=\widehat{FDC}$ και $\widehat{FCD}=\widehat{ICE}=\dfrac{\widehat{C}}{2}$ .

Άρα, $\dfrac{FC}{IC}=\dfrac{DC}{EC}$ (1).

Είναι $\dfrac{FC}{IC}=1+\dfrac{FI}{IC}=1+\dfrac{BF}{BC}=1+\dfrac{c}{a+b} \Rightarrow \dfrac{FC}{IC}=\dfrac{a+b+c}{a+b}$ (2).

Ακόμη, $\dfrac{DC}{EC}=\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}}{\dfrac{ab}{c+a}}=\dfrac{a+c}{b+c} \Rightarrow \dfrac{DC}{EC}=\dfrac{a+c}{b+c}$ (3).

Από (1), (2), (3), $\dfrac{a+b+c}{a+ b}=\dfrac{a+c}{b+c} \Rightarrow \ldots \Rightarrow a^2=b^2+bc+c^2$ (4).

Από τον Ν. Συνημιτόνων είναι $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A} \mathop \Rightarrow \limits^{(4)}$

$b^2+c^2+bc=b^2+c^2-2bc \cos \widehat{A} \Rightarrow \cos \widehat{A}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A}=120^\circ$ και από εδώ έπεται το ζητούμενο.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σου Γιώργο.

Έστω .

Τα τρίγωνα $\vartriangle EIC, \vartriangle FDC$ είναι όμοια, επειδή έχουν $\widehat{IEC}=180^\circ-\widehat{AEB}=180^\circ-\widehat{FDB}=\widehat{FDC}$ και $\widehat{FCD}=\widehat{ICE}=\dfrac{\widehat{C}}{2}$ .

Άρα, $\dfrac{FC}{IC}=\dfrac{DC}{EC}$ (1).

Είναι $\dfrac{FC}{IC}=1+\dfrac{FI}{IC}=1+\dfrac{BF}{BC}=1+\dfrac{c}{a+b} \Rightarrow \dfrac{FC}{IC}=\dfrac{a+b+c}{a+b}$ (2).

Ακόμη, $\dfrac{DC}{EC}=\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}}{\dfrac{ab}{c+a}}=\dfrac{a+c}{b+c} \Rightarrow \dfrac{DC}{EC}=\dfrac{a+c}{b+c}$ (3).

Από (1), (2), (3), $\dfrac{a+b+c}{a+ b}=\dfrac{a+c}{b+c} \Rightarrow \ldots \Rightarrow a^2=b^2+bc+c^2$ (4).

Από τον Ν. Συνημιτόνων είναι $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{A} \mathop \Rightarrow \limits^{(4)}$

$b^2+c^2+bc=b^2+c^2-2bc \cos \widehat{A} \Rightarrow \cos \widehat{A}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A}=120^\circ$ και από εδώ έπεται το ζητούμενο.

Μπράβο Ορέστη για τη μεθοδικότητά σου και το ταλέντο που έχεις να συνδυάζεις τα δεδομένα!

ΥΓ. Η αρχική άσκηση ζητούσε αυτό ακριβώς. Να υπολογισθεί η γωνία $\widehat A.$ Μετά έγινε η παραλλαγή.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε:Ορθή από ίχνη διχοτόμων.png
Έστω οι διχοτόμοι σκαληνού τριγώνου Αν $F\widehat DB=A\widehat EB,$ να δείξετε ότι $F\widehat DE=90^0.$

Αν $\displaystyle{DF//AC}$ τότε $\displaystyle{AF = FD = DC \Rightarrow \angle A = \angle C}$ άτοπο αφού το $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ είναι σκαληνό

Με $\displaystyle{CA \cap DF = P \Rightarrow EPBD}$ εγγράψιμο, άρα $\displaystyle{\angle DPE = \angle EBD = \angle \frac{B}{2} = \angle ABE \Rightarrow BPAQ}$ εγγράψιμο

Άρα $\displaystyle{\angle PBQ = \angle QAE = \angle PDE}$

Είναι $\displaystyle{\angle QEC = \angle FIB = \frac{{B + C}}{2}}$ και με $\displaystyle{FM//BE \Rightarrow \angle MFD = B + C}$ .

Επιπλέον , $\displaystyle{\vartriangle MFC = \vartriangle FDC(\Gamma - \Pi - \Gamma ) \Rightarrow MF = FD \Rightarrow \angle FMD = \angle FDM = \frac{A}{2}}$

άρα, $\displaystyle{AMDF}$ εγγράψιμο οπότε $\displaystyle{\angle ADF = \phi }$ .

Έτσι, $\displaystyle{QAED}$ εγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle QAE + \angle PDE = {180^0} \Rightarrow 2\angle PDE = {180^0} \Rightarrow \boxed{\angle PDE = {{90}^0}}}$

: ορθή από ίχνη διχοτόμων.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Ορθή από ίχνη διχοτόμων

Ορθή από ίχνη διχοτόμων

Re: Ορθή από ίχνη διχοτόμων

Re: Ορθή από ίχνη διχοτόμων

Re: Ορθή από ίχνη διχοτόμων

Μέλη σε σύνδεση