Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Παρ Αύγ 11, 2017 10:46 am

Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο.png (17.99 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC εγγράφουμε τετράγωνο KLMN με τις κορυφές K, L πάνω στην υποτείνουσα BC και τις

M, N πάνω στις πλευρές AC, AB αντίστοιχα. Αν η BM τέμνει την KN στο P και η CN τηνLM στο Q

α) να δείξετε ότι \displaystyle{\frac{{BP}}{{BM}} + \frac{{CQ}}{{CN}} = 1}

β) Αν η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει την MN στο S, να δείξετε ότι το τρίγωνο SPQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Αύγ 11, 2017 8:01 pm

george visvikis έγραψε:Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC εγγράφουμε τετράγωνο KLMN με τις κορυφές K, L πάνω στην υποτείνουσα BC και τις M, N πάνω στις πλευρές AC, AB αντίστοιχα. Αν η BM τέμνει την KN στο P και η CN τηνLM στο Q
α) να δείξετε ότι \displaystyle{\frac{{BP}}{{BM}} + \frac{{CQ}}{{CN}} = 1}
β) Αν η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει την MN στο S, να δείξετε ότι το τρίγωνο SPQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.


\bullet α) Προφανώς είναι \vartriangle CLM\sim \vartriangle NKB\sim \vartriangle MAN (από τις καθετότητες και τις παραλληλίες)

Έχουμε: MN\parallel LC \Rightarrow \dfrac{{QM}}{{QL}} = \dfrac{{MN}}{{CL}}\mathop  = \limits^{MN = ML} \dfrac{{ML}}{{CL}}\mathop  = \limits^{\vartriangle CLM \sim \vartriangle NKB} \dfrac{{BK}}{{KN}}\mathop  = \limits^{KN = KL} \dfrac{{BK}}{{KL}} \Rightarrow KQ\parallel BM\mathop  \Rightarrow \limits^{MQ\parallel PK} PMQK

παραλληλόγραμμο, άρα \boxed{MQ = PK}:\left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{ML = NK} \boxed{LQ = PN}:\left( 2 \right).

Από \left\{ \begin{gathered}
  PK\parallel ML \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{BM}} = \dfrac{{PK}}{{ML}}\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} \dfrac{{MQ}}{{ML}} \\ 
  QK\parallel NK \Rightarrow \dfrac{{CQ}}{{CN}} = \dfrac{{QL}}{{NK}}\mathop  = \limits^{NK = ML} \dfrac{{QL}}{{ML}} \\ 
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} \boxed{\dfrac{{BP}}{{BM}} + \dfrac{{CQ}}{{CN}} = \dfrac{{MQ + QL}}{{ML}} = \dfrac{{ML}}{{ML}} = 1} και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τετράγωνο σε ορθογώνιο.png
Τετράγωνο σε ορθογώνιο.png (37.22 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

\bullet β) Από το παραλληλόγραμμο PMQK προκύπτει ότι οι διαγώνιές του διχοτομούνται και συνεπώς το O\equiv PQ\cap KM είναι το κέντρο του τετραγώνου KLMN (από όπου διέρχεται και η NL. Από \angle MON=\angle MAN={{90}^{0}}\Rightarrow AMON εγγράψιμο σε κύκλο και με ON=OM προκύπτει ότι η διχοτόμος της \angle MAN διέρχεται από το σημείο O .

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο \vartriangle AMN \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SN}} = \dfrac{{AM}}{{AN}}\mathop  = \limits^{\vartriangle AMN \sim \vartriangle KNB} \dfrac{{KN}}{{KB}}\mathop  = \limits^{KN = KL} \dfrac{{KL}}{{KB}}\mathop  = \limits^{PK\parallel ML} \dfrac{{PM}}{{KB}}

\Rightarrow SP\parallel MB \Rightarrow \angle PSO = \angle BAS = {45^0} = \angle PNO \Rightarrow SNPO εγγράψιμο σε κύκλο οπότε \angle QPS\equiv \angle OSP=\angle NOS={{45}^{0}}

και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι\angle SQP={{45}^{0}} και συνεπώς το τρίγωνο \vartriangle PSQ είναι ορθογώνιο ισοσκελές και το β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Παρ Αύγ 11, 2017 10:15 pm

τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο_1.png
τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο_1.png (19.88 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές


Φέρνω από το M παράλληλη στην AB που τέμνει τη BC στο J. Θέτω τη πλευρά

του τετραγώνου με d. Ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{MQ}}{{QL}} = \frac{{MN}}{{LC}} = \frac{d}{{LC}}\,\,\,(1) \hfill \\
  \frac{{PK}}{{PN}} = \frac{{BK}}{{NM}} = \frac{{BK}}{d}\,\,\,\,(2) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα: \vartriangle KBN = \vartriangle LJM\,\,(NK = ML\,\,,NB = MJ\,) θα είναι

\boxed{BK = JL}. Μα τότε τα δεύτερα μέλη των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) είναι ίσα αφού :

\dfrac{d}{{LC}} = \dfrac{{BK}}{d} \Leftrightarrow {d^2} = BK \cdot LC \Leftrightarrow M{L^2} = JL \cdot LC που είναι αληθές . Έτσι θα είναι και

τα πρώτα μέλη των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) ίσα και άρα

\dfrac{{MQ}}{{QL}} = \dfrac{{PK}}{{PN}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{MQ + QL}} = \dfrac{{PK}}{{PK + PN}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{d} = \dfrac{{PK}}{d}, άρα

MQ = //PK \Rightarrow QL = //PN. Στο παραλληλόγραμμο PLQN οι διαγώνιοι

διχοτομούνται άρα το σημείο τομής T της PQ με τη διαγώνιο NL είναι μέσο τους.

Ας πούμε PK = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PN = v. Μετά απ’ αυτά:

1. \dfrac{{BP}}{{BM}} + \dfrac{{CQ}}{{CN}} = \dfrac{{BK}}{{BL}} + \dfrac{{CL}}{{CK}} = \dfrac{{PK}}{{ML}} + \dfrac{{LQ}}{{NM}} = \dfrac{u}{{u + v}} + \dfrac{v}{{u + v}} = 1.

Τώρα η AS στη προέκτασή της διέρχεται από το νότιο πόλο του κύκλου (A,N,M)

δηλαδή το T

τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο_2.png
τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο_2.png (32.38 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές


2. Από το Θεώρημα της διχοτόμου στο \vartriangle ANM και λόγω της ομοιότητας

\vartriangle KBN \approx \vartriangle LMC έχω :

\dfrac{{NS}}{{SM}} = \dfrac{{AN}}{{AM}} = \dfrac{{NB}}{{MC}} = \dfrac{{BK}}{{ML}} = \dfrac{{BK}}{{NM}} = \dfrac{{PK}}{{PN}} = \dfrac{{MQ}}{{PN}} και άρα

\dfrac{{NS}}{{SM}} = \dfrac{{MQ}}{{QL}} \Rightarrow \dfrac{{NS}}{{NS + SM}} = \dfrac{{MQ}}{{MQ + QL}} \Rightarrow \dfrac{{NS}}{d} = \dfrac{{MQ}}{d} .Δηλαδή

\boxed{NS = MQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM = NP} άρα τα ορθογώνια τρίγωνα NSP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MQS\, είναι ίσα .

Αναγκαστικά τώρα το τρίγωνο SPQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Γιώργο καλημέρα. Ανέβασα τελικά την λύση που σου είχα περιγράψει.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5044
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από S.E.Louridas » Σάβ Αύγ 12, 2017 8:40 am

george visvikis έγραψε:Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο.png
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC εγγράφουμε τετράγωνο KLMN με τις κορυφές K, L πάνω στην υποτείνουσα BC και τις M, N πάνω στις πλευρές AC, AB αντίστοιχα. Αν η BM τέμνει την KN στο P και η CN τηνLM στο Q
α) να δείξετε ότι \displaystyle{\frac{{BP}}{{BM}} + \frac{{CQ}}{{CN}} = 1}
β) Αν η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει την MN στο S, να δείξετε ότι το τρίγωνο SPQ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Καλημέρα.
Όταν αυτή η εκπληκτική παρέα είναι παρούσα πρέπει, και αν έχεις έστω και λίγο χρόνο, να βρίσκεις τρόπο να είσαι και εσύ.


α) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vartriangle NM{C_1} \sim \vartriangle NM{B_1} \Rightarrow \frac{{N{C_1}}}{{NK}} = \frac{{N{C_1}}}{{NM}} = \frac{{NM}}{{N{B_1}}} = \frac{{ML}}{{M{B_1}}}.} Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες NM,\;L{C_1},\;K{B_1} συντρέχουν.

Επομένως \displaystyle{\frac{{KP}}{{KN}} = \frac{{LM}}{{L{B_1}}} = \frac{{N{C_1}}}{{{C_1}K}} = \frac{{QM}}{{LM}} \Rightarrow KP = QM \Rightarrow PN = LQ.} Τελικά παίρνουμε \displaystyle{\frac{{BP}}{{BM}} + \frac{{CQ}}{{CN}} = \frac{{PK}}{{ML}} + \frac{{QL}}{{NK}} = 1.}


β) \displaystyle{\vartriangle NAM \sim \vartriangle NM{B_1} \Rightarrow \frac{{NF}}{{FM}} = \frac{{NK}}{{M{B_1}}} = \frac{{NM}}{{M{B_1}}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Rightarrow F \equiv S.}

Άρα έχουμε: \displaystyle{\vartriangle AMN \sim \vartriangle MN{B_1} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{FM}}{{NF}} = \frac{{M{B_1}}}{{MN}} = \frac{{NP}}{{PK}} \Rightarrow \frac{{NM}}{{NF}} = \frac{{NK}}{{PK}} \Rightarrow} \displaystyle{NF = PK = MQ \Rightarrow MF = NP = QL.}

Εδώ θεωρώ ότι τελείωσε και το ερώτημα αυτό, αφού τα τρίγωνα FNP,\;FQM, με βάση τα αμέσως προηγούμενα, είναι ίσα.
αςεδφρ.png
αςεδφρ.png (34.64 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 1:14 pm

Σωτήρη καλημέρα Μου άρεσε πολύ η «κίνηση» με την οποία προέκυψαν τα

{B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1} και τα συμπεράσματα απ’ αυτά .



Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης