Ευθύτης

[KARKAR]

Ευθύτης.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Με διαμέτρους τις πλευρές , ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάσαμε στο εξωτερικό του

ημικύκλια , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε αντίστοιχα . Ονομάζουμε τώρα τις τομές

των και αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

[min##]

Καλησπέρα!! Αρχικά θα αποδείξω ότι οι συντρέχουν.
Φέρνω την
και έστω η τομή των και το μέσον της .Τώρα λόγω των ομοίων τριγώνων (λόγω παραλληλίας) .Επομένως , βρίσκουμε ότι ,ενώ ορίζοντας με παρόμοιο τρόπο σημείο πάνω στην παίρνουμε .Ορίζοντας παρόμοια τα στην και λόγω του ότι η είναι η διχοτόμος της (θεώρημα νότιου πόλου) παίρνουμε .Από αντίστροφο στο
για τις έχουμε: και άρα οι παραπάνω συντρέχουν.Αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά και από θεώρημα οι τομές των αντίστοιχων πλευρών τους(
) είναι συνευθειακές.

[vittasko]

Οι ευθείες είναι ισογώνιες ως προς την γωνία λόγω

Ομοίως, οι ευθείες είναι ισογώνιες ως προς την γωνία

Θεωρούμε την ευθεία ως δύο ευθείες δια της κορυφής ισογώνιες ως προς τη γωνία ( από ).

Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα των ισογώνιων ευθειών, ή Jacobi Theorem ( διεθνώς γνωστή ονομασία ), ή Θεώρημα Κυριαζή ( σε ένδειξη τιμής αυτού που το ανακάλυψε ανεξάρτητα, το πρωτοδημοσίευσε και το ανέδειξε στην Ελλάδα), ή Isogonic Theorem ( γενίκευση ), έχουμε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

Άρα, τα τρίγωνα είναι προοπτικά και επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, συμπεραίνεται ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[rek2]

Ας κάνω δύο παρατηρήσεις:

1. Η πρόταση ισχύει και σε μη ορθογώνια τρίγωνα.

2. Το θεώρημα Vecten βεβαιώνει ότι οι συντρέχουν. Άρα το τρίγωνα είναι προοπτικά, επομένως τα είναι συνευθειακά.