Προβλήμα

erxmer · #1

Σε ένα εργοστάσιο πρόκειται να κατασκευαστούν κυλινδρικά κουτάκια μπύρας με χωρητικότητα 628ml.

,με τέτοιο τρόπο ωστε να χρησιμοποιηθεί η ελάχιστη ποσότητα υλικού στην κατασκευή τους.

1) Να υπολογιστεί η ακτίνα βάσης και το ύψος του κυλίνδρου.

2) Να αποδειχθεί οτι ο λόγος της ακτίνας της βάσης προς το ύψος του είναι 0,5

#2

Για τους μαθητές που θέλουν να ασχοληθούν υπενθυμίζω ότι:

: Πρόβλημα.png (8.72 KiB) Προβλήθηκε 3130 φορές

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι : $\boxed{V = \pi {r^2}h}$ και

το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας: $\boxed{{E_{o\lambda }} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}}$

Γιώργος Απόκης · #3

Ξεχασμένη...

1) Έχουμε $\displaystyle V=628\Leftrightarrow \pi r^2 h=628\Leftrightarrow h=\frac{200}{r^2}~(1)$ (χρησιμοποίησα ότι $\displaystyle \pi=3,14$ )

Για την ολική επιφάνεια : $\displaystyle E(r)=2\pi rh+2\pi r^2\overset{(1)}=\frac{400\pi}{r}+2\pi r^2=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right),~r>0$

H συνάρτηση έχει παράγωγο $\displaystyle E'(r)=2\pi\left(-\frac{200}{r^2}+2r\right)=\frac{4\pi}{r^2}(r^3-100)$ η οποία μηδενίζεται για

$\displaystyle r=\sqrt[3]{100}$ . Από το πρόσημο της παραγώγου προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle r=\sqrt[3]{100}~cm$

2) Από την (1) έχουμε : $\displaystyle h=\frac{200}{\sqrt[3]{100}^2}=\frac{200\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{100}^3}=\frac{200\sqrt[3]{100}}{100}=2\sqrt[3]{100}=2r~cm$

επομένως $\displaystyle \frac{r}{h}=\frac{r}{2r}=0,5$

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2017 2:38 pm
Για την ολική επιφάνεια : $\displaystyle E(r)=...=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right),~r>0$

H συνάρτηση έχει παράγωγο $\displaystyle E'(r)=...$

Επειδή η Άσκηση υπάρχει σε σχεδόν όλους τους Απειροστικούς Λογισμούς, ας κάνουμε την ανάποδη πορεία, χωρίς Απειροστικό:

Από τα παραπάνω του Γιώργου και με χρήση της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle E(r)=2\pi\left(\frac{200}{r}+r^2\right)= 2\pi\left(\frac{100}{r}+\frac{100}{r}+r^2\right)\ge 6\pi \sqrt [3]{\frac{100}{r}\cdot \frac{100}{r}\cdot r^2}=6\pi \sqrt [3]{100^2}$

με ισότητα όταν $\frac{100}{r}= r^2$ , δηλαδή r^3=100

(ως άνω), και λοιπά.

Προβλήμα

Προβλήμα

Re: Προβλήμα

Re: Προβλήμα

Re: Προβλήμα

Μέλη σε σύνδεση