Αναμενόμενη

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x-ln(e^x+c), c>0

. Αν γνωρίζουμε οτι οτι η γ.π. διέρχεται απο το σημείο $\displaystyle{\left(ln3, ln\frac{3}{4} \right)}$

1) να βρεθεί η σταθερά

2)

3) δείξτε οτι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

4) $\displaystyle{a-b<ln\frac{e^a+1}{e^b+1}\,\,\, a<b, a, b \in R}$

5) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γ.π. που είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{2y=x+2016}$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση . Αν γνωρίζουμε οτι οτι η γ.π. διέρχεται απο το σημείο $\displaystyle{\left(ln3, ln\frac{3}{4} \right)}$

1) να βρεθεί η σταθερά

2)

3) δείξτε οτι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

4) $\displaystyle{a-b<ln\frac{e^a+1}{e^b+1}\,\,\, a<b, a, b \in R}$

5) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γ.π. που είναι παράλληλη στην ευθεία $\displaystyle{2y=x+2016}$

1) Έχουμε ότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} f\left ( \ln 3 \right )= \ln \frac{3}{4} =\ln 3 - 2\ln 2 &\Leftrightarrow \ln 3 - \ln \left ( 3+c \right ) =\ln 3- 2\ln 2 \\ &\Leftrightarrow \ln (3+c)=2\ln 2\\ &\Leftrightarrow 3+c=4\\ &\Leftrightarrow c=1 \end{aligned}}$

2) Έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)-f(-x) &=x- \ln \left ( e^x+1 \right ) - \left ( -x - \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \right ) \\ &=2x - \ln \left ( e^x+1 \right ) + \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \\ &= 2x + \ln \left ( \frac{e^{-x}+1}{e^x+1} \right ) \\ &=2x-x \\ &=x \end{aligned}}$

Συνεπώς παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε το ζητούμενο.

3) Η σχέση γράφεται:

$\displaystyle{a-b< \ln \left ( e^a+1 \right ) - \ln \left ( e^b+1 \right ) \Leftrightarrow a- \ln \left ( e^a+1 \right )< b - \ln \left ( e^b +1 \right )\Leftrightarrow f(a)< f(b)}$

και αρκεί να αποδείξουμε ότι η

είναι γν. αύξουσα , το οποίο ισχύει διότι:

$\displaystyle{f'(x)= 1- \frac{e^x}{e^x+1}= \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}= \frac{1}{e^x+1}>0 , \;\; \forall x \in \mathbb{R}}$

και η ανισότητα απεδείχθη.

4) Ψάχνουμε την εφαπτομένη ευθεία στο σημείο A(x_0, f(x_0))

. Όμως η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη ευθεία $y= \dfrac{x}{2}+1008$ . Συνεπώς $f'(x_0)=1/2 \Leftrightarrow x_0=0$ . Οπότε $f(0)=- \ln 2$ . Συνεπώς η εφαπτομένη ευθεία έχει εξίσωση:

$\displaystyle{y - f(0)= xf'(0) \Leftrightarrow y = \frac{x}{2}+ \ln 2}$

Αναμενόμενη

Αναμενόμενη

Re: Αναμενόμενη

Μέλη σε σύνδεση