Πριν την έναρξη...

erxmer · #1

Δίνεται δείγμα

παρατηρήσεων που δεν έιναι ίσες όλες μεταξύ τους με μέση τιμή $\bar{x}$ και
διακύμανση s^2

και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=1}^{25}{(t_i-x)^3}}$

Να αποδειχθεί οτι

Δ1) s>0

Δ2) $\displaystyle{s^2=-\frac{f'(\bar{x})}{75}}$

Δ3) στο σημείο $M(\bar{x},f(\bar{x}))$ , η εφαπτομένη της C_f

έχει τον μέγιστο συντελεστή, o οποίος και να βρεθεί

Δ4) αν το σημείο

, της καμπύλης

στο οποίο αυτή παρουσιάζει μέγιστο, ανήκει στην ευθεία
$y=-3x\bar{x}$ τότε

i) να εξετάσετε αν το δείγμα έιναι ομοιογενές

ii) να βρεθει το $\displaystyle{\sum_{i=1}^{25}{(t_i)^2}}$ αν γνωρίζουμε οτι η τεταγμένη του σημείου

είναι

hlkampel · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται δείγμα παρατηρήσεων που δεν έιναι ίσες όλες μεταξύ τους με μέση τιμή $\bar{x}$ και
διακύμανση και η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\sum_{i=1}^{25}{(t_i-x)^3}}$

Να αποδειχθεί οτι

Δ1)

Δ2) $\displaystyle{s^2=-\frac{f'(\bar{x})}{75}}$

Δ3) στο σημείο $M(\bar{x},f(\bar{x}))$ , η εφαπτομένη της έχει τον μέγιστο συντελεστή, o οποίος και να βρεθεί

Δ4) αν το σημείο , της καμπύλης στο οποίο αυτή παρουσιάζει μέγιστο, ανήκει στην ευθεία
$y=-3x\bar{x}$ τότε

i) να εξετάσετε αν το δείγμα έιναι ομοιογενές

ii) να βρεθει το $\displaystyle{\sum_{i=1}^{25}{(t_i)^2}}$ αν γνωρίζουμε οτι η τεταγμένη του σημείου είναι

Δ1. Είναι $s = \sqrt {{s^2}} \ge 0$

Αν $\displaystyle {{s^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{25}}\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{t_1} - \bar x} \right)^2} + {\left( {{t_2} - \bar x} \right)^2} + \cdot \cdot \cdot + {\left( {{t_{25}} - \bar x} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow }$

${t_1} = {t_2} = \cdot \cdot \cdot = {t_{25}} = \bar x$ άτοπο γιατί οι παρατηρήσεις δεν είναι ίσες όλες μεταξύ τους.

Άρα s > 0

Δ2. $\displaystyle {{s^2} = \frac{1}{{25}}\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} }$ (1)

$f'\left( x \right) = - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - x} \right)}^2}} \Rightarrow f'\left( {\bar x} \right) = - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} \Rightarrow$

$\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} = - \frac{{f'\left( {\bar x} \right)}}{3}$ (2)

Η (1) λόγω της (2) γίνεται: $\displaystyle {s^2} = - \frac{{f'\left( {\bar x} \right)}}{{75}}$

Δ3. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι $f'\left( x \right) = - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - x} \right)}^2}}$

$f''\left( x \right) = 6\sum\limits_{i = 1}^{25} {\left( {{t_i} - x} \right)}$

$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6\sum\limits_{i = 1}^{25} {\left( {{t_i} - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{25} {{t_i}} - 25x = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{25} {{t_i}} }}{{25}} \Leftrightarrow x = \bar x$

$f''\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 6\sum\limits_{i = 1}^{25} {\left( {{t_i} - x} \right)} = 0 \Leftrightarrow x < \bar x$

Άρα η

είναι γν. αύξουσα αν $x \in \left( { - \infty ,\bar x} \right]$ και γν. φθίνουσα αν $x \in \left[ {\bar x, + \infty } \right)$ , έτσι παρουσιάζει μέγιστο αν $x = \bar x$ .

Οπότε το σημείο με τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης εφαπτομένης είναι το $M\left( {\bar x,f\left( {\bar x} \right)} \right)$

Δ4. i. Με $x = \bar x$ είναι $f'\left( {\bar x} \right) = - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}}$

Αφού το σημείο

ανήκει στην ευθεία $y = - 3x\bar x$ , τότε:

$\displaystyle - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} = - 3{\bar x^2} \Leftrightarrow \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} }}{{25}} = \frac{{{{\bar x}^2}}}{{25}} \Leftrightarrow$

$\displaystyle {s^2} = \frac{{{{\bar x}^2}}}{{25}} \Leftrightarrow \frac{{{s^2}}}{{{{\bar x}^2}}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow C{V^2} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow CV = \frac{1}{5} > \frac{1}{{10}}$ οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

ii. Είναι $A\left( {\bar x,f'\left( {\bar x} \right)} \right)$

$f'\left( {\bar x} \right) = - 75 \Leftrightarrow - 3\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} = - 75 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} = 25 \Leftrightarrow$

$\displaystyle\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{25} {{{\left( {{t_i} - \bar x} \right)}^2}} }}{{25}} = 1 \Leftrightarrow {s^2} = 1$ και

$- 75 = - 3{\bar x^2} \Leftrightarrow {\bar x^2} = 25$

$\displaystyle {s^2} = \frac{1}{{25}}\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^{25} {t_i^2} - \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{25} {{t_1}} } \right)}^2}}}{{25}}} \right\} \Leftrightarrow 1 = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{25} {t_i^2} }}{{25}} - {\bar x^2} \Leftrightarrow$

$\sum\limits_{i = 1}^{25} {t_i^2} = 650$

Πριν την έναρξη...

Πριν την έναρξη...

Re: Πριν την έναρξη...

Μέλη σε σύνδεση