Συνάρτηση - Δείγμα - Ασυμμετρία

hlkampel · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = {x^3} - 3\sqrt \delta {x^2} + 3\bar xx$ με $x \in R$ , όπου $\bar x$ η μέση τιμή και $\delta\geq 0$ η διάμεσος ενός δείγματος $\nu$ παρατηρήσεων.

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης παρουσιάζει δύο ακρότατα και η καμπύλη συχνοτήτων του δείγματος παρουσιάζει ασυμμετρία τότε:

α. Να βρεθεί το είδος της ασυμμετρίας.

β. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το σημείο $B\left( {1,13} \right)$ είναι ένα ακρότατο της

τότε:

i. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος.

ii. Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι $\nu = 20$ και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 1700

, να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το δείγμα.

iii. Ποιος είναι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε παρατήρηση ώστε το δείγμα να αλλάξει “συμπεριφορά” ομοιογένειας;
(Από μη ομοιογενές να γίνει ομοιογενές ή αντίστροφα).

Edit:Μικρή διόρθωση στην εκφώνηση. Δεν επηρεάζεται η ωραία λύση του Γιώργου.

#2

α. Για $\displaystyle{\,\,\,x \in R\,\,\,,\,\,\,\delta \ge \,0\,\,\,}$ η $\displaystyle{\,f\,\,}$ είναι παραγωγίσιμη με :

$\displaystyle{f'\left( x \right) = ({x^3} - 3\sqrt \delta {x^2} + 3\bar xx)' = 3{x^2} - 6\sqrt \delta x + 3\bar x}$ , οπότε : $\displaystyle{f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt \delta x + \bar x = 0}$

Για να έχει η $\displaystyle{\,f\,\,}$ δυο ακρότατα αρκεί η παράγωγος να μηδενίζεται δυο φορές , αλλάζοντας ταυτόχρονα πρόσημο . Αυτό συμβαίνει όταν το τριώνυμο έχει $\displaystyle{\,\,\,\Delta > 0}$ .
$\displaystyle{\Delta > 0 \Leftrightarrow 4\delta - 4\bar x > 0 \Leftrightarrow \bar x < \delta }$ , οπότε το δείγμα παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία

β. i) Αφού παρουσιάζει ακρότατο στο $\displaystyle{\,1\,\,}$ , ίσο με $\displaystyle{\,\,\,13\,\,\,}$ , έχουμε καταρχήν ότι :
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {f'(1) = 0} \\ {f(1) = 13} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 2\sqrt \delta + \bar x = 0} \\ {1 - 3\sqrt \delta + 3\bar x = 13} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow .\,.\,. \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\delta = 25} \\ {\bar x = 9} \\ \end{array}} \right\}}$
Γι΄ αυτές τις τιμές η συνάρτηση γίνεται : $\displaystyle{\,\,\,f\left( x \right) = {x^3} - 15{x^2} + 27x}$ , με $\displaystyle{\,\,\,f'(x) = 3{x^2} - 30x + 27 = 3({x^2} - 10x + 9)}$ , οπότε :
$\displaystyle{\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\,}$ ή $\displaystyle{\,\,\,x = 9\,\,\,\,}$ και με πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι πράγματι παρουσιάζει ακρότατο στο $\displaystyle{\,\,1\,}$ .

ii) Είναι :
$\displaystyle{\,\,\,\,{s^2} = \frac{1}{{20}}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}^2 - \frac{{{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}} } \right)}^2}}}{{20}}} } \right] = \frac{1}{{20}}\left[ {1700 - \frac{{{{\left( {20 \cdot 9} \right)}^2}}}{{20}}} \right] = \frac{1}{{20}}\left[ {1700 - 1620} \right]\, = 4}$
οπότε $\displaystyle{\,\,s = \sqrt 4 = 2}$ και $\displaystyle{\,\,CV = \frac{2}{9} > \frac{1}{{10}}\,\,\,}$ , οπότε το δείγμα δεν είναι ομοιογενές .
iii) Έστω ότι σε κάθε παρατήρηση προστίθεται ο αριθμός $\displaystyle{\,c\,\,}$ .
Θεωρούμε την τ.μ. $\displaystyle{Y\,}$ με τιμές $\displaystyle{\,{y_i}\,\,}$ , ώστε : $\displaystyle{{y_i} = {x_i} + c\,\,}$ .
Τότε θα ισχύει : $\displaystyle{\,\overline y = \overline x + c\,\,\,}$ $\displaystyle{\,\,,\,\,{s_y} = {s_x}\,}$ , επομένως :
$\displaystyle{\,\,\,\,C{V_y} = \frac{{{s_y}}}{{\overline y }} = \frac{2}{{9 + c}}\,\,\,\,}$
Για να είναι ομοιογενές αρκεί :
$\displaystyle{\,\,C{V_y} \le \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \frac{2}{{9 + c}}\,\, \le \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow c \ge 11\,\,\,\,}$
Άρα ο ελάχιστος θετικός ακέραιος είναι το 11 .

Συνάρτηση - Δείγμα - Ασυμμετρία

Συνάρτηση - Δείγμα - Ασυμμετρία

Re: Συνάρτηση - Δείγμα - Ασυμμετρία

Μέλη σε σύνδεση