Πρόβλημα - ακρότατο

mathxl · #1

Η κάτοψη μιάς πισίνας αποτελείται από ένα ημικύκλιο ακτίνας ρ που είναι προσκολλημένο σε ορθογώνιο μήκους 2ρ και πλάτους κ. Εάν το εμβαδόν Ε της πισίνας είναι σταθερό, για ποιά τιμή των ρ και κ η περίμετρος Π της πισίνας είναι ελάχιστη;

Από τον Stuart Clark

#2

Για το εμβαδό έχουμε ότι:

$\displaystyle{E=2\rho\kappa+\frac{\pi\rho^2}{2} \Leftrightarrow \kappa =\frac{E}{2\rho}-\frac{\pi\rho}{4}, \rho \in \left(0, \sqrt{\frac{2E}{\pi}} \right)}}$ , αφού

$\displaystyle{\kappa > 0 \Leftrightarrow \frac{E}{2\rho}>\frac{\pi \rho}{4} \Leftrightarrow \rho^2<\frac{2E}{\pi}}$ και $\rho>0$ .

Για την περίμετρο έχουμε ότι: $\Pi =2\kappa + 2\rho +\pi\rho$ ,

οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{\Pi(\rho)=2\left(\frac{E}{2\rho}-\frac{\pi\rho}{4} \right) + 2\rho +\pi\rho =\frac{E}{\rho}+\frac{4+\pi}{2}\rho,\ \rho \in \left(0, \sqrt{\frac{2E}{\pi}} \right)}$ .

H συνάρτηση $\Pi$ είναι ορισμένη, συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\left(0, \sqrt{\frac{2E}{\pi}} \right)}$ ,

με $\displaystyle{\Pi{'}(\rho)=-\frac{E}{\rho^2}+\frac{\pi+4}{2}.}$

Τότε:

$\displaystyle{\Pi{'}(\rho) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{\pi+4}{2} \geq \frac{E}{\rho^2} \Leftrightarrow \rho^2 \geq \frac{2E}{\pi+4} \Leftrightarrow \rho \geq \sqrt{\frac{2E}{\pi+4}}}}$ .

Επομένως μπορούμε να κατασκευάσουμε το συνημμένο πινακάκι και να δούμε ότι η συνάρτηση Π παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για $\displaystyle{\rho =\sqrt{\frac{2E}{\pi+4}}}}$ .

Τότε:

$\displaystyle{\kappa =\frac{2E-\pi\rho^2}{2\rho}=\frac{2E-\pi \frac{2E}{\pi+4}}{2\sqrt{\frac{2E}{\pi+4}}}\Leftrightarrow} }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k=\frac{2E\frac{\pi+4-\pi}{\pi+4}}{2\sqrt{\frac{2E}{\pi+4}}}\Leftrightarrow} }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow k=2\sqrt{\frac{2E}{\pi+4}}}$ .

mathxl · #3

Απλά

Πρόβλημα - ακρότατο

Πρόβλημα - ακρότατο

Re: Πρόβλημα - ακρότατο

Re: Πρόβλημα - ακρότατο

Μέλη σε σύνδεση