Μέγιστο απολύτου διαφοράς

KARKAR · #1

: μέγιστο απολύτου διαφοράς.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Τα σημεία S(0,3) , P(4,0)

βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου : x^2+y^2=25

.

Η διάμετρος AA'

περιστρέφεται . Συνδέω τα S,P

με τα άκρα της διαμέτρου .

Υπολογίστε το μέγιστο του |PA'-SA|

. Υπάρχει δυνατότητα γενίκευσης ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Τα

είναι αντιδιαμετρικά. Επομένως, αν A(x,y)

τότε

Η παράσταση $K=\left | PA{'}- \right SA|$ μπορεί να γραφεί ως $\left | \sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}} -\right\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}} |.$

Αν θεωρήσουμε τώρα το συμμετρικό, ως προς το κέντρο, του

το

μπορούμε να γράψουμε $K=\left | AP{'}- \right SA|$ .

Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε $K=\left | AP{'}- \right SA|\leq SP{'}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.$

Άρα maxK=5

και επιτυγχάνεται όταν τα A,S,P{'}

γίνουν συνευθειακά.

Σημείωση: Δεν χρειάζονται συντεταγμένες. Μπορούμε κατευθείαν να θεωρήσουμε το συμμετρικό του

και να εφαρμόσουμε την τριγωνική ανισότητα. Απλά θα πάμε με ισότητα τριγώνων.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 28, 2017 9:44 pm
μέγιστο απολύτου διαφοράς.pngΤα σημεία βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου : .

Η διάμετρος περιστρέφεται . Συνδέω τα με τα άκρα της διαμέτρου .

Υπολογίστε το μέγιστο του . Υπάρχει δυνατότητα γενίκευσης ;

Γενίκευση:

: Μέγιστο απολύτου διαφοράς.png (10.1 KiB) Προβλήθηκε 556 φορές

Για τον κύκλο με εξίσωση x^2+y^2=R^2

και τα σημεία $\displaystyle P\left( {\frac{{4R}}{5},0} \right),S\left( {0,\frac{{3R}}{5}} \right)$ και $A(x,\sqrt{R^2-x^2})$

● Αν PA'>SA,

τότε $\displaystyle |PA' - SA{|_{\max }} = R,$ όταν PA'||SA.

● Αν

τότε $\displaystyle |PA' - SA{|_{\max }} = \frac{R}{5}\left( {\sqrt {34} - 1} \right)$ όταν A(-R,0), A'(R,0).

Τελικά,

είναι η μέγιστη τιμή της απόλυτης διαφοράς. Η απόδειξη γίνεται με τη μελέτη της συνάρτησης

$\displaystyle f(x)=|\sqrt {{{\left( {x + \frac{{4R}}{5}} \right)}^2} + {R^2} - {x^2}} - \sqrt {{x^2} + {{\left( {\sqrt {{R^2} - {x^2}} - \frac{{3R}}{5}} \right)}^2}}| \Leftrightarrow ...$

$\boxed{f(x) = \frac{1}{5}|{\sqrt {40Rx + 41{R^2}} - \sqrt {34{R^2} - 30R\sqrt {{R^2} - {x^2}} } } |}}$

που έχει μέγιστη τιμή $\boxed{{f_{\max }} = R}$ στο $\boxed{{x_0} = \frac{R}{{125}}\left( {4\sqrt {481} - 36} \right)}$

KARKAR · #4

: Μέγιστο απολύτου διαφοράς.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Μιλώντας για γενίκευση , εννοούσα για τις οποιεσδήποτε θέσεις των S,P

.

Απλώς στη συγκεκριμένη εφαρμογή επεδίωξα το "εμφανίσιμο" αποτέλεσμα .

Η ισότητα λοιπόν των τριγώνων AOP' , A'OP

, δίνει σύμφωνα με το τελευταίο

τμήμα της λύσης του Λάμπρου , ότι το μέγιστο ισούται με το τμήμα SP'

.

Αλλά επειδή η διάμετρος κινείται , μπορεί το

να βρεθεί στη θέση του

.

Τότε πάλι έχουμε μέγιστο για τη διαφορά |Pa'-Sa|=(SP')

, αλλά αυτή η λύση διαφέρει

ουσιωδώς της πρώτης , συνεπώς - όπως λέει ο Γιώργος - πρέπει να αναφερθεί ξεχωριστά .

Για την ιστορία , χρησιμοποίησα το συμμετρικό του

αντί εκείνου του

Μέγιστο απολύτου διαφοράς

Μέγιστο απολύτου διαφοράς

Re: Μέγιστο απολύτου διαφοράς

Re: Μέγιστο απολύτου διαφοράς

Re: Μέγιστο απολύτου διαφοράς

Μέλη σε σύνδεση